Pole koła mierzy płaski obszar ograniczony okręgiem. Oblicza się je z promienia, czyli odległości środka od brzegu. Jeżeli znasz średnicę, podziel ją przez dwa przed użyciem wzoru z promieniem.
Pole z promienia lub średnicy
Dla promienia r i średnicy d wzory są równoważne:
Promień podnosimy do kwadratu, a nie podwajamy. Przy 5 cm najpierw liczymy 5 × 5 = 25, a potem mnożymy przez π.
Pełne obliczenie pola koła o promieniu 5 cm
Wyznaczamy pole koła o promieniu 5 cm. Podana długość już jest promieniem, więc nie dzielimy jej przez dwa.
Podnieś promień do kwadratu, mnożąc 5 przez 5. To inne działanie niż podwojenie 5.
Pomnóż kwadrat promienia przez π. Pozostaw π w wyrażeniu, aby zachować dokładne pole.
Oblicz wartość dziesiętną i zaokrąglij do dwóch miejsc. Dla tego wyniku użyj znaku przybliżenia.
Pole to 25π centymetrów kwadratowych, około 78,54 centymetrów kwadratowych. Wynik w samych centymetrach opisywałby długość zamiast pola.
Dokładne pole to 25π centymetrów kwadratowych, około 78,54. Średnica 10 cm określa to samo koło, więc powinna dać ten sam wynik.
Dlaczego we wzorze występuje π?
Wyobraź sobie wielokąt foremny wpisany w okrąg i podzielony na trójkąty od środka. Jego pole jest połową iloczynu obwodu i apotemy, czyli prostopadłej odległości środka od boku. Przy zwiększaniu liczby boków obwód zbliża się do długości okręgu, a apotema do promienia.
W granicy otrzymujemy połowę iloczynu długości okręgu i promienia:
Wielokąt o skończonej liczbie boków nadal ma proste boki i nie jest kołem. Dopiero przejście graniczne wyjaśnia wzór.
Koło i okrąg to różne pojęcia
Okrąg składa się z punktów oddalonych od środka dokładnie o r. Koło obejmuje również punkty leżące bliżej środka. Pole opisuje wypełniony obszar, a długość okręgu jego brzeg. Sama linia brzegu nie ma pola koła.
Dla r = 5 cm długość okręgu wynosi 10π cm, natomiast pole 25π centymetrów kwadratowych. Średnica jest równa 2r, nie 2π: zależy od rozmiaru figury i ma jednostkę długości.
Jednostki i sprawdzanie wyniku
Przed obliczeniem sprowadź długości do tej samej jednostki. Średnicy w milimetrach nie traktuj jak promienia w centymetrach. Skoro długość jest podnoszona do kwadratu, współczynnik przeliczenia także podnosimy do kwadratu. Jeden centymetr kwadratowy zawiera 100 milimetrów kwadratowych.
Podwojenie promienia zwiększa pole czterokrotnie, ale długość okręgu tylko dwukrotnie. To pomaga sprawdzić wynik. Dla pierścienia odejmij pole wewnętrznego koła, a dla wycinka wybierz odpowiednią część całego pola. Zakrzywiona powierzchnia wymaga innego wzoru: zobacz pole powierzchni kuli.
