La somma e la sottrazione di matrici si eseguono tra gli elementi che occupano la stessa posizione. Le due matrici devono avere lo stesso numero di righe e lo stesso numero di colonne. La matrice risultante conserva queste dimensioni.
Quali matrici si possono sommare?
Una matrice 2 × 3 ha due righe e tre colonne. Può essere sommata a un’altra matrice 2 × 3, ma non a una 3 × 2. Non basta che entrambe abbiano sei elementi: deve coincidere anche la disposizione. Le matrici non devono essere necessariamente quadrate; la regola vale anche per quelle rettangolari.
Gli indici i e j indicano rispettivamente riga e colonna. Ogni posizione del risultato si calcola così:
Sommare gli elementi nella stessa posizione
Nell’esempio, parti dall’angolo superiore sinistro e procedi per righe. Non sommare una riga a una colonna e non raccogliere tutti gli elementi in un unico numero.
In alto a destra, −1 + 2 = 1. In basso a sinistra, 3 + (−3) = 0. Scrivere righe e parentesi ben allineate aiuta a mantenere le corrispondenze.
Sottrarre una matrice con elementi negativi
Sottrai ciascun elemento di B dall’elemento corrispondente di A. Il segno meno davanti a B si applica a tutti i suoi elementi, compresi quelli negativi.
Sottrarre tutti e quattro gli elementi delle matrici 2 × 2
Calcoliamo A − B usando le matrici dell’esempio di somma. Le dimensioni coincidono, quindi ogni sottrazione mantiene la riga e la colonna degli elementi.
Calcola la prima riga: in alto a sinistra ci sono 2 e 5; in alto a destra, −1 e 2.
Passa alla seconda riga. Sottrarre −3 equivale a sommare 3; nell’ultima posizione si sottraggono due numeri positivi.
Rimetti le quattro risposte nelle posizioni originali. Il risultato resta una matrice con due righe e due colonne.
Per verificare, somma −3, l’elemento inferiore sinistro di B, al risultato 6. Ritrovi 3, l’elemento corrispondente di A.
In basso a sinistra, 3 − (−3) = 6: sottrarre un numero negativo equivale a sommare il suo opposto. In alto a destra, −1 − 2 = −3. Questi due controlli riguardano casi diversi della regola dei segni.
L’ordine delle matrici conta?
La somma è commutativa: scambiando A e B, il risultato non cambia. La sottrazione in generale non lo è. Nell’esempio, passare da A − B a B − A cambia il segno di ogni elemento della differenza.
O indica la matrice nulla delle dimensioni richieste. Sommarla non modifica alcun elemento. Sottrarre una matrice da sé stessa dà la matrice nulla. La somma è inoltre associativa per matrici delle stesse dimensioni: cambiare il raggruppamento non cambia il risultato.
Come verificare il calcolo
Conta prima righe e colonne, poi controlla che il risultato mantenga le dimensioni iniziali. Per verificare una differenza, somma B ad A − B: devi ritrovare A. Se le matrici rappresentano dati, le posizioni devono riferirsi alle stesse categorie e le unità devono essere compatibili. Le sole dimensioni non bastano se una tabella ordina mesi per colonne e l’altra prodotti.
