Additionner ou soustraire deux matrices consiste à effectuer l’opération entre les coefficients placés à la même position. Les deux matrices doivent avoir autant de lignes et autant de colonnes l’une que l’autre. La matrice obtenue conserve ces dimensions.
Quelles matrices peut-on additionner ?
Une matrice de taille 2 × 3 comporte deux lignes et trois colonnes. Elle peut être additionnée à une autre matrice 2 × 3, mais pas à une matrice 3 × 2. Le nombre total de coefficients ne suffit donc pas : leur disposition compte. Les matrices peuvent être rectangulaires ; elles ne doivent pas nécessairement être carrées.
Les indices i et j désignent respectivement la ligne et la colonne. Pour chaque position, on applique la relation suivante :
Additionner les coefficients correspondants
Dans l’exemple, commencez en haut à gauche et poursuivez ligne par ligne. On n’additionne pas une ligne avec une colonne et on ne rassemble pas tous les coefficients dans un seul nombre.
En haut à droite, −1 + 2 = 1. En bas à gauche, 3 + (−3) = 0. Conserver l’alignement des lignes et des crochets aide à suivre les correspondances.
Soustraire une matrice contenant des nombres négatifs
Soustrayez chaque coefficient de B au coefficient correspondant de A. Le signe moins devant B concerne tous ses coefficients.
Soustraire les quatre coefficients des matrices 2 × 2
Calculons A − B avec les matrices de l’exemple d’addition. Leurs dimensions coïncident : chaque soustraction conserve donc la ligne et la colonne des coefficients.
Calculez la première ligne : en haut à gauche figurent 2 et 5 ; en haut à droite, −1 et 2.
Passez à la deuxième ligne. Soustraire −3 revient à ajouter 3 ; à la dernière position, on soustrait deux nombres positifs.
Replacez les quatre réponses à leurs positions initiales. Le résultat reste une matrice à deux lignes et deux colonnes.
Pour vérifier, ajoutez −3, le coefficient inférieur gauche de B, au résultat 6. Vous retrouvez 3, le coefficient correspondant de A.
En bas à gauche, 3 − (−3) = 6 : soustraire un nombre négatif revient à ajouter son opposé. En haut à droite, −1 − 2 = −3. Ces deux calculs permettent de vérifier des situations de signes différentes.
Pourquoi l’ordre change-t-il la différence ?
L’addition est commutative : échanger A et B ne modifie pas la somme. La soustraction ne l’est généralement pas. Ici, passer de A − B à B − A change le signe de chaque coefficient.
O est la matrice nulle de la taille voulue. L’ajouter ne change aucun coefficient. Soustraire une matrice à elle-même donne cette matrice nulle. L’addition est aussi associative pour des matrices de mêmes dimensions : regrouper autrement les additions ne change pas leur résultat.
Vérifier le calcul et le sens des données
Comptez les lignes et les colonnes avant de calculer, puis vérifiez que le résultat garde la même taille. Pour contrôler une différence, ajoutez B à A − B : vous devez retrouver A. Si les matrices représentent des tableaux de données, les positions doivent désigner les mêmes catégories et les unités doivent être compatibles. Des dimensions identiques ne suffisent pas si les colonnes représentent des mois dans un tableau et des produits dans l’autre.
