Beim Addieren und Subtrahieren von Matrizen werden die Einträge an derselben Position miteinander verrechnet. Beide Matrizen müssen gleich viele Zeilen und gleich viele Spalten besitzen. Die Ergebnismatrix behält diese Dimensionen.
Welche Matrizen darf man addieren?
Eine 2 × 3-Matrix hat zwei Zeilen und drei Spalten. Sie lässt sich zu einer weiteren 2 × 3-Matrix addieren, aber nicht zu einer 3 × 2-Matrix. Dass beide sechs Einträge enthalten, reicht nicht: Die Anordnung muss übereinstimmen. Die Matrizen müssen dabei nicht quadratisch sein.
Die Indizes i und j geben Zeile und Spalte eines Eintrags an. Für jede Position gilt:
Einträge an gleicher Stelle addieren
Beginne im Beispiel links oben und arbeite zeilenweise weiter. Eine Zeile wird nicht mit einer Spalte verrechnet, und die Einträge werden nicht zu einer einzigen Zahl zusammengefasst.
Rechts oben steht −1 + 2 = 1. Links unten ergibt 3 + (−3) = 0. Schreibe die Klammern und Zeilen übersichtlich untereinander, damit die Zuordnung erhalten bleibt.
Eine Matrix mit negativen Einträgen subtrahieren
Ziehe jeden Eintrag von B vom entsprechenden Eintrag von A ab. Das Minuszeichen vor B wirkt auf sämtliche Einträge.
Alle vier Einträge der 2 × 2-Matrizen subtrahieren
Wir berechnen A − B mit den Matrizen aus dem Additionsbeispiel. Ihre Dimensionen stimmen überein. Jede Subtraktion bleibt deshalb in derselben Zeile und Spalte.
Berechne die erste Zeile: Links oben stehen 2 und 5, rechts oben −1 und 2.
Rechne die zweite Zeile aus. −3 zu subtrahieren bedeutet, 3 zu addieren. An der letzten Position werden zwei positive Zahlen subtrahiert.
Setze die vier Ergebnisse wieder an ihre ursprünglichen Positionen. Die Ergebnismatrix hat weiterhin zwei Zeilen und zwei Spalten.
Als Probe addierst du −3, den linken unteren Eintrag von B, zum Differenzeintrag 6. Du erhältst wieder 3, den entsprechenden Eintrag von A.
Links unten gilt 3 − (−3) = 6: Eine negative Zahl zu subtrahieren bedeutet, ihre Gegenzahl zu addieren. Rechts oben ergibt −1 − 2 = −3. Diese beiden Stellen prüfen unterschiedliche Vorzeichenfälle.
Wann ist die Reihenfolge wichtig?
Die Addition ist kommutativ: Vertauscht man A und B, bleibt die Summe gleich. Für die Subtraktion gilt das im Allgemeinen nicht. Im Beispiel wechseln beim Übergang von A − B zu B − A sämtliche Vorzeichen.
O bezeichnet die Nullmatrix der passenden Größe. Ihre Addition verändert keinen Eintrag. Eine Matrix minus sich selbst ergibt die Nullmatrix. Die Addition gleich großer Matrizen ist außerdem assoziativ: Eine andere Klammerung verändert die Summe nicht.
Das Ergebnis überprüfen
Zähle vor dem Rechnen die Zeilen und Spalten. Das Ergebnis muss dieselbe Größe besitzen. Als Probe kannst du B zu A − B addieren; dabei muss A herauskommen. Bei Datentabellen müssen außerdem dieselben Positionen dieselben Kategorien beschreiben und die Einheiten zusammenpassen. Gleiche Dimensionen allein machen eine Rechnung nicht sinnvoll, wenn etwa die Spalten einmal Monate und einmal Produkte darstellen.
