Die Grundgesamtheit umfasst alle Einheiten, über die man etwas wissen möchte. Die Stichprobe umfasst die tatsächlich beobachteten Einheiten. Will eine Schule die Schulwege aller Schülerinnen und Schüler beschreiben, liefern die Angaben aus einer Klasse nur Daten zu einem Teil der Schule. Wie die Klasse ausgewählt wurde, beeinflusst die Aussagekraft.
Stichprobenwerte als Schätzwerte
Der Mittelwert der Grundgesamtheit ist ein Parameter. Der Mittelwert einer Stichprobe ist eine Stichprobenkennzahl und kann den Parameter schätzen. Eine zufällige Auswahl kann Auswahlverzerrungen verringern. Mehr Antworten aus derselben bequem erreichbaren Klasse können die Verzerrung bestehen lassen.
Wie alle Jahrgänge in die Stichprobe kommen
Beginne mit einer Liste aller Schülerinnen und Schüler. Bei einer einfachen Zufallsstichprobe ziehst du Namen aus der gesamten Liste. Bei einer geschichteten Stichprobe ziehst du in jedem Jahrgang getrennt. So können auch kleine Jahrgänge vertreten sein. Auf einen freiwilligen Fragebogen antworten womöglich vor allem Personen mit besonders kurzen oder langen Wegen. Eine größere Zahl von Antworten allein behebt diese Verzerrung nicht.
Fahrzeiten als Häufigkeiten darstellen
Sechs beobachtete Fahrzeiten sind 10, 10, 20, 20, 20 und 40 Minuten. Die absoluten Häufigkeiten für 10, 20 und 40 sind 2, 3 und 1. Teile jede Häufigkeit durch 6, um den zugehörigen Anteil zu erhalten. Die Hälfte der Fahrten dauert 20 Minuten.
| Zeit (min) | Anzahl | Relative Häufigkeit | Kumulierte Anzahl |
|---|---|---|---|
| 10 | 2 | 33,3 % | 2 |
| 20 | 3 | 50 % | 5 |
| 40 | 1 | 16,7 % | 6 |
Kumulierte Häufigkeiten und Klassen
Fünf von sechs Fahrten dauern höchstens 20 Minuten, also etwa 83,3 Prozent. Nur zwei dauern weniger als 20 Minuten. Bei vielen verschiedenen Zeiten kann man Klassen bilden. Von 10 bis unter 20 Minuten liegen zwei Fahrten, von 20 bis unter 30 Minuten drei. Ein Histogramm stellt solche Intervalle dar. Bei ungleichen Klassenbreiten zeigt die Fläche des Rechtecks die Häufigkeit. Die Höhe muss daher an die Breite angepasst werden.
Dieselben Daten mit mehreren Streuungsmaßen auswerten
Die Spannweite beträgt 30 Minuten. Die Zeiten summieren sich auf 120 Minuten, der Mittelwert ist 20. Die Abweichungen lauten −10, −10, 0, 0, 0 und 20. Ihre Summe ist null. Der Mittelwert ihrer Beträge beträgt etwa 6,67 Minuten.
Bilden die sechs Zeiten die gesamte Grundgesamtheit, teile die Summe der quadrierten Abweichungen durch 6. Die Varianz beträgt 100 Quadratminuten und die Standardabweichung 10 Minuten. Zur Schätzung der Populationsvarianz aus der Stichprobe ist der übliche Nenner 5. Dann beträgt die Stichprobenvarianz 120 Quadratminuten und die Stichprobenstandardabweichung etwa 10,95 Minuten.
Gleicher Mittelwert, andere Streuung
Vergleiche mit 10, 10, 10, 10, 40 und 40 Minuten. Mittelwert und Spannweite bleiben 20 und 30. In der zweiten Liste liegt keine Fahrt nahe bei 20. Die quadrierten Abweichungen ergeben zusammen 1200, die Populationsvarianz beträgt 200 und die Standardabweichung rund 14,14 Minuten. In der ersten Liste waren es 10. Die Spannweite berücksichtigt nur die beiden Extremwerte.
