Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Aucun dénominateur commun n'est nécessaire. Cette règle traduit l'idée de prendre une fraction d'une autre fraction, ce qu'un rectangle quadrillé permet de voir.
L'aire superposée donne le sens du produit
Colorier deux tiers d'un rectangle dans un sens et trois cinquièmes dans l'autre crée six cases communes sur quinze. La fraction 6/15 se réduit à 2/5. Les réglages montrent l'influence de chacun des quatre termes.
Construire le produit de deux fractions
La zone superposée représente le produit avant et après réduction.
Multiplier directement puis réduire
Le produit de 7/12 par 8/21 donne 56/252. Le PGCD du numérateur et du dénominateur est 28; la forme irréductible est donc 2/9.
Les dénominateurs doivent être non nuls. Un nombre impair de facteurs négatifs donne un produit négatif, un nombre pair donne un produit positif.
Simplifier en croix avant le calcul
On peut diviser un numérateur et le dénominateur de l'autre fraction par un facteur commun avant de multiplier.
Cette simplification anticipée ne change pas la règle. Elle maintient des nombres plus petits et limite les erreurs arithmétiques.
Préparer entiers et nombres mixtes
Un entier n s'écrit n/1. Pour un nombre mixte, on multiplie la partie entière par le dénominateur, on ajoute le numérateur et l'on conserve le dénominateur.
Deux et un tiers deviennent 7/3. Multiplié par 3/5, ce nombre donne 21/15, puis 7/5 ou un et deux cinquièmes. Garder la fraction conserve la valeur exacte. Une estimation confirme que le résultat doit être légèrement supérieur à un.
Comment travailler avec le produit des numérateurs et dénominateurs après simplification valide
Avant le calcul, identifiez le produit des numérateurs et dénominateurs après simplification valide. Notez les données avec leurs unités ou dimensions et précisez ce que le résultat doit représenter. Cette préparation évite une opération correcte qui répondrait à une autre question.
Une erreur fréquente consiste à chercher un dénominateur commun ou simplifier deux numérateurs. Écrivez donc chaque transformation sur une ligne, gardez les valeurs exactes pendant les étapes intermédiaires et justifiez facteurs, exposants et signes. Si deux méthodes existent, la seconde doit contrôler la première de façon indépendante.
Un contrôle fiable grâce à la forme irréductible, le dénominateur, le signe et l'estimation
- Commencez par le produit des numérateurs et dénominateurs après simplification valide; ce point détermine ce que la réponse doit représenter.
- Écartez chercher un dénominateur commun ou simplifier deux numérateurs avant d'arrondir.
- Utilisez la forme irréductible, le dénominateur, le signe et l'estimation comme contrôle indépendant, et non comme répétition du même calcul.
- Lisez le résultat dans le contexte de recettes, probabilités, aires et proportions en ne gardant que la précision justifiée par les données.
Cette démarche est utile pour recettes, probabilités, aires et proportions. Une même formule peut fournir un nombre dans chacun de ces contextes, mais l'interprétation dépend de la grandeur mesurée, des hypothèses et de la précision des données. Calculateur et schéma révèlent des tendances sans remplacer les contrôles de domaine, de compatibilité et de vraisemblance.
