Beim Multiplizieren von Brüchen werden die Zähler miteinander und die Nenner miteinander multipliziert. Anders als bei Addition und Subtraktion ist kein gemeinsamer Nenner nötig. Die Regel entspricht dem Bild, einen bestimmten Bruchteil eines anderen Bruchteils zu nehmen.
Überlappende Flächen machen den Bruchteil sichtbar
Werden zwei Drittel eines Rechtecks in einer Richtung und drei Fünftel in der anderen markiert, überdecken sich sechs von fünfzehn Teilflächen. Der Produktbruch 6/15 lässt sich zu 2/5 kürzen. Mit den Reglern lässt sich jede der vier Zahlen verändern.
Das Produkt zweier Brüche darstellen
Die überdeckte Fläche zeigt das Produkt vor und nach dem Kürzen.
Direkt multiplizieren und anschließend kürzen
Bei 7/12 mal 8/21 entsteht zunächst 56/252. Zähler und Nenner haben den gemeinsamen Teiler 28, daher ist der vollständig gekürzte Bruch 2/9. Beide Schreibweisen bezeichnen exakt dieselbe Zahl.
Nenner dürfen niemals null sein. Eine ungerade Anzahl negativer Faktoren liefert ein negatives Ergebnis, eine gerade Anzahl ein positives.
Über Kreuz kürzen hält die Zahlen klein
Vor dem Multiplizieren darf ein Zähler mit dem Nenner des anderen Bruchs durch einen gemeinsamen Faktor geteilt werden.
Das ist keine neue Rechenregel, sondern eine vorgezogene Kürzung des gesamten Zählers und Nenners. Sie erleichtert große Produkte und verhindert unnötig umfangreiche Zwischenwerte.
Ganze und gemischte Zahlen vorbereiten
Eine ganze Zahl n wird als n/1 geschrieben. Bei einer gemischten Zahl wird der ganzzahlige Teil mit dem Nenner multipliziert und der Zähler addiert.
Zwei und ein Drittel werden zu 7/3. Multipliziert mit 3/5 ergibt sich 21/15, gekürzt 7/5 oder eins und zwei Fünftel. Der Bruch bleibt exakt; eine Dezimalzahl ist nur nötig, wenn die Anwendung sie verlangt. Eine Überschlagsrechnung bestätigt, dass das Ergebnis etwas größer als eins sein muss.
So gehst du mit Multiplikation von Zählern und Nennern nach gültigem Kürzen um
Bestimme vor der Rechnung Multiplikation von Zählern und Nennern nach gültigem Kürzen. Notiere alle gegebenen Werte mit Einheiten oder Dimensionen und formuliere, was das Ergebnis bedeuten soll. So wird vermieden, dass eine formal richtige Rechnung die falsche Frage beantwortet.
Ein typischer Fehler ist einen gemeinsamen Nenner zu suchen oder falsch zu kürzen. Schreibe deshalb jede Umformung in eine eigene Zeile, bewahre exakte Zwischenwerte und begründe Faktoren, Exponenten sowie Vorzeichen. Gibt es zwei Verfahren, sollte das zweite die erste Rechnung unabhängig kontrollieren.
Eine sichere Kontrolle mit gekürzte Form, Nenner, Vorzeichen und Überschlag
- Beginne mit Multiplikation von Zählern und Nennern nach gültigem Kürzen; davon hängt die Bedeutung des Ergebnisses ab.
- Schließe einen gemeinsamen Nenner zu suchen oder falsch zu kürzen vor dem Runden aus.
- Nutze gekürzte Form, Nenner, Vorzeichen und Überschlag als unabhängige Kontrolle und nicht als Wiederholung derselben Rechnung.
- Deute das Ergebnis im Zusammenhang mit Rezepte, Wahrscheinlichkeit, Flächen und Anteile und gib nur die durch die Daten gedeckte Genauigkeit an.
Diese Arbeitsweise hilft bei Rezepte, Wahrscheinlichkeit, Flächen und Anteile. Dieselbe Formel kann dort jeweils eine Zahl liefern, doch ihre Bedeutung hängt von Messgröße, Voraussetzungen und Datengenauigkeit ab. Rechner und Diagramme zeigen Muster, ersetzen aber keine Prüfung von Definitionsbereich, Kompatibilität und Plausibilität.
