Expressões Algébricas

As expressões algébricas são expressões que envolvem variáveis e números com operações da aritmética. As variáveis podem assumir qualquer valor numérico.

Diferentemente das expressões numéricas que são expressões envolvendo números e operações da aritmética, as expressões algébricas vai um pouco além, representam também os valores desconhecidos.

As letras são chamadas de incógnitas, que são números que não conhecemos. A representação dessas incógnitas é de responsabilidade da álgebra, por isso as expressões envolvendo incógnitas são chamadas de expressões algébricas.

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Cálculo de uma Expressão Algébrica

Para realizar um cálculo de uma expressão algébrica com variáveis, devemos atribuir os valores dados no problema a essas variáveis.

Nos problemas específicos os valores devem ser dados para a resolução.

Exemplo:

Para calcular a área de um retângulo temos a seguinte fórmula:

A = b . h

As variáveis b, que representa a base, e h, que representa a altura, devem ser substituídas por valores numéricos dados no problema.

Por exemplo, se um retângulo mede 10 cm de base e 5 cm de altura, substituindo os valores nas variáveis da fórmula, temos:

A = b . h = 10 . 5 = 50 cm²

Classificação das Expressões Algébricas

As expressões algébricas são classificadas em dois grupos: monômios e polinômios.

Monômios

Monômio é o nome dado a expressões que apresentam apenas o produto entre coeficientes (parte numérica) pelas variáveis (parte literal).

Exemplos:

1. 3xy: monômio onde o número 3 (coeficiente) multiplica as variáveis x e y (parte literal);
2. 5x²yz²: monômio com o coeficiente 5 e a parte literal x²yz²;
3. x: monômio com coeficiente 1 e parte literal x, apesar de o número 1 não aparecer, em toda variável podemos considerar a existência de um produto por 1, pois ele é neutro na multiplicação;
4. 10: monômio com coeficiente 10 e parte literal x⁰, pois x⁰ é 1, e 10 vezes 1 é 10.

Polinômios

Os polinômios são a adição e subtração de dois ou mais monômios, o prefixo poli que dizer muitos.

Exemplos:

• Adição: 3x + 2y + 3z
• Subtração: 2x²y – 3y – 2z
• Adição e Subtração: 3x³y²z – 2x²y + 4xyz² – xyz

Operações Algébricas

Podemos realizar operações algébricas entre polinômios e monômios usando as operações básicas da aritmética.

Soma e Subtração de Monômios

Podemos somar ou subtrair monômios quando eles tem a parte literal em comum. Então, procederemos da seguinte forma:

• Somamos ou subtraímos os coeficientes e mantemos a parte literal.

Exemplo:

• 3xy + 3xy² + 9xy – 3x²y + 2xy² = (3 + 9)xy + (3 + 2)xy² – 3x²y = 12xy + 5xy² – 3x²y

Multiplicação e Divisão de Monômios

Para multiplicar monômios, multiplicamos os coeficientes primeiramente e depois as incógnitas, tomando cuidado com as potências.

Exemplo:

• 3xy² . 4xy = (3 . 4).(x . x) . (y² . y) = 12 . x^{1 + 1} . y^{2 + 1} = 12x²y³

As potências de mesma base, na multiplicação, devem ser conservadas e somar os expoentes.

Para dividir dois monômios devemos dividir os coeficientes entre si e a parte literal também entre elas. Tomando cuidado ao dividir potências. Use as propriedades de potenciação: bases iguais, conserva a base e subtrai os expoentes.

Exemplo:

• 10x⁴ ÷ 2x = (10 ÷ 2) e (x⁴ ÷ x) = 5x³
• 16x ÷ 4x = (16 ÷ 4) e (x ÷ x) = 4

Soma e Subtração de Polinômios

Os polinômios são somados ou subtraídos colocando os termos comuns de mesma parte literal juntos. Somente podemos somar ou subtrair os coeficientes em que a parte literal é comum, se for diferente não deve ser somada ou subtraída e, sim, conservada no resultado final.

Exemplo:

• 2x² + 3y² – 5x + 3x + 2y² – 3xy = 2x² + (3 + 2)y² + (-5 + 3)x -3xy = 2x² + 5y² + 2x – 3xy
• 3x³ – 2x² + 3x² – 5x³ = (3 – 5)x³ + (-2 + 3)x² = -2x³ + x²

Multiplicação de Polinômios

Polinômios são multiplicados utilizando a propriedade distributiva da multiplicação.

• Multiplicar o primeiro termo do primeiro polinômio por todos os termos do segundo, multiplicar o segundo termo do primeiro polinômio por todos os termos do segundo, e assim por diante.

Exemplo:

• (3x + 2y) . (x + 2y) = (3x . x) + (3x . 2y) + (2y . x) + (2y . 2y) = 3x² + 6xy + 2xy + 2y²

Divisão de Polinômios

Para dividir dois polinômios devemos dividir os coeficientes entre si e a parte literal entre elas, tomando cuidado ao dividir as potência e usar as regras de divisão de potência: bases iguais, repete a base e subtrai os expoentes.

Exemplo:

Divisão de polinômio por monômio

Divisão de polinômio por polinômio

Simplificação de Expressões Algébricas

A simplificação de uma expressão algébrica ocorre pelas operações da aritmética adição e subtração. Consiste em pegar os termos semelhantes e somar ou subtrair para tornar a expressão mais simples e fácil de operar.

A simplificação acontece conservando as variáveis (parte literal) e somando oou subtraindo os coeficientes (números).
Exemplo:

Considere as seguinte expressão algébrica:

1. 2xy + 4x²y – xy + 3x²y
   

   Simplificando: (2xy – xy) + (3x²y + 4x²y) = xy + 7x²y

   Conservamos as variáveis e somamos ou subtraímos os números, assim: (2 – 1)xy + (3 + 4)x²y = 1xy + 7x²y = xy + 7x²y

2. 4ab + 5ab² + 8ab – 3ab² + 2ab – ab
   

   Simplificando: devemos separar os termos positivos e semelhantes, assim:

   (4ab + 8ab + 2ab – ab) + (- 3ab² + 5ab²) = (4 + 8 + 2 – 1)ab + (- 3 + 5)ab² = 13ab + 2ab²

   Agrupamos os termos com grau 2 (ab²) e com grau 1 (ab), depois separamos os coeficientes (números) da parte literal (variáveis) para facilitar o cálculo.

Fatoração de Expressões Algébricas

A fatoração de uma expressão algébrica é reescrever a expressão de forma que coloquemos a parte comum como um produto da parte diferente.

Dessa forma, podemos fatorar expressões algébricas utilizando os seguintes casos:

• Fator comum: Quando temos uma variável em comum, coloquemos ela em evidência, isto é, coloquemos ela como um produto dos termos que não são comuns.
  
  • Exemplo: ax + bx = x . (a + b)

• Agrupamento: Quando temos vários termos e variáveis em comum, agrupamos eles para simplificar, colocando os grupos como um produto pelas variáveis que os multiplicam.
  
  • Exemplo: ax + bx + ay + by = x . (a + b) + y . (a + b) = (x + y) . (a + b)

• Trinômio Quadrado Perfeito: trinômio formado por três monômios que não possuem termos em comum. Utilizando adição.
  
  • Exemplo: a² + 2ab + b² = (a + b)²

• Trinômio Quadrado Perfeito: utilizando subtração de três monômios diferentes.
  
  • Exemplo: a² – 2ab + b² = (a – b)²

• Diferença de dois quadrados: quando temos dois termos em comum, de forma que os termos sejam um produto de uma soma por uma subtração:
  
  • Exemplo: (a + b) . (a – b) = a² – b²
• Cubo Perfeito (adição): quando temos a primeira parcela ao cubo (a³), mais o triplo de a²b (3a²b), mais o triplo de ab² (3ab²), mais o cubo de b (b³). Isto é igual ao cubo da soma de a mais b (a + b)³.
  
  • Exemplo: a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = (a + b)³

• Cubo Perfeito (subtração): quando temos a primeira parcela ao cubo (a³), menos o triplo de a²b (3a²b), mais o triplo de ab² (3ab²), menos o cubo de b (b³). Isto é igual ao cubo da diferença entre a e b (a – b)³.
  
  • Exemplo: a³ – 3a²b + 3ab² – b³ = (a – b)³

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by Jean Carlos Novaes

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