Área do Cone: Fórmula e Exercício Resolvido

A área do cone corresponde a medida da superfície do cone. A área é calculada somando a área da base pela área da lateral cônica.

O cone é uma figura da geometria espacial, assim ele utiliza às três coordenadas x, y e z. Na geometria espacial, os objetos ocupam uma posição no espaço, enquanto na geometria plana ocupam uma posição em um plano qualquer.

Elementos do Cone

Antes de mostrarmos como se calcula a área do cone, vamos entender como o cone é formado:

• Vértice: o vértice é um ponto superior que define a altura do cone;
• Altura: a altura equivale à medida do segmento de reta que inicia no centro da circunferência e termina no vértice do cone;
• Raio: é o raio da circunferência que forma a base;
• Geratriz: a geratriz é um segmento de reta que inicia em um ponto no arco da base e termina no vértice do cone. Dessa forma, a lateral cônica é formada por um conjunto de geratrizes.

Em relação às geratrizes do cone reto, temos a seguinte relação entre o raio, a altura e a geratriz do cone: g² = r² + h².

Nada mais é do que a aplicação do Teorema de Pitágoras, pois a altura, o raio e a geratriz formam um triângulo retângulo em um cone reto.

Como Calcular a Área do Cone?

A área do cone é calculada somando-se a área da base com a área lateral. Para calcular a área da base é o mesmo que calcular a área de uma circunferência. Para calcular a área lateral, precisamos planificar a lateral cônica sobre um plano.

Planificação do Cone

A planificação do cone nada mais é do que abrir a lateral do cone de forma que ela fique sobre um plano e não mais no espaço.

Ao abrirmos a lateral do cone, obtemos uma figura com um raio g e uma parte curva com comprimento l. Onde: l = 2 . π . r

Elementos da Planificação do Cone

Quando abrimos a lateral do cone e colocamos num plano, obtemos uma figura com uma parte circular com os seguintes elementos:

• Raio: o raio g da figura em questão é a geratriz do cone;
• Comprimento do arco: o setor circular da figura possui comprimento igual 2πr, que é igual ao perímetro da base do cone, ou seja, o perímetro de uma circunferência.

Fórmula da Área do Cone

Agora que já temos conhecimento suficiente, podemos apresentar a fórmula para calcular a área.

Para calcular a área do cone como um todo precisamos aprender a calcular a área da base e da lateral do cone.

Área da base

A área da base do cone é calculada da mesma forma que a área de uma circunferência. Então, a área da base é calculada pela seguinte fórmula:

• A_b = π . r²

Onde:

• π: é o número pi (3,14);
• r: é o raio da circunferência da base.

Área lateral

A área lateral do cone equivale à medida da superfície cônica. Para calcular a área lateral usamos a seguinte fórmula:

• A_l = π . r . g

Onde:

• π: é o número pi (3,14);
• r: é o raio da base;
• g: é a medida da geratriz que forma a lateral cônica.

Área total

A área total é calculada somando-se a área da base com a área lateral. Então, para calcular a área total usamos a seguinte fórmula:

• A_t = π . r . (g + r)

Onde:

• π: é o número pi (3,14);
• r: é o raio da base;
• g: é a medida da geratriz.

Área do Tronco do Cone

Se cortarmos uma parte do cone, obtemos um cone contendo duas bases: uma parte contém o vértice do cone, chamada de base menor e a outra contém a base do cone, chamada de base maior.

Esse corte no cone forma uma nova figura geométrica chamada de “tronco do cone”. Essa nova figura possui duas bases opostas e paralelas, e a altura equivale à distância entre essas bases.

Área da Base Menor

A área da base menor é dada pela seguinte fórmula:

• A_b = π . r²

Área da Base Maior

A área da base maior é dada pela seguinte fórmula:

• A_B = π . R²

Área Lateral

A área lateral é dada pela seguinte fórmula:

• A_l = π . g . (R + r)

Área Total do Cone

A área total é dada pela seguinte fórmula:

• A_t = A_B + A_b + A_l

Onde:

• A_B: é a área da base maior;
• A_b: é a área da base menor;
• A_l: é a área da lateral.

Exercício Resolvido

Calcule a área lateral, a área da base e a área total de um cone circular reto com as seguintes medidas:

Altura: 5 cm

Raio: 2 cm

Resolução:

• Área lateral:
  • Para calcular a área lateral precisamos encontrar a medida da geratriz. Para isso, vamos aplicar o teorema de Pitágoras:
    • g² = r² + h² ⇒
    • g² = 2² + 5² ⇒
    • g² = 4 + 25 ⇒
    • g² = 29 ⇒
    • g = √29 ⇒
    • g = 5,4 cm
  • Com a medida da geratriz em mãos podemos calcular a área da lateral, para isso vamos aplicar a fórmula:
    • A_l = π . r . g ⇒ A_l = π . 2 . 5,4 ⇒ A_l = 10,8π cm²

Área da base:

Na área da base aplicamos a seguinte fórmula:

A_b = π . r² ⇒ A_b = π . 2² ⇒ A_b = 4π cm²

Área total:

A área total é a soma das áreas lateral e da base:

A_t = A_b + A_l ⇒ A_t = (4 + 10,8)π ⇒ A_t = 14,8π cm²

Poderíamos aplicar a fórmula, mas estaríamos fazendo trabalho repetido. Veja:

A_t = π . r .(g + r) ⇒ A_t = π . 2 . (5,4 + 2) ⇒ A_t = π . 2 . 7,4 ⇒ A_t = 14,8π cm²

Obtemos o mesmo resultado.

Bom, é isso!

Exercícios Propostos

Acesse os exercícios no link abaixo:

• Exercícios sobre a área do cone