Área do Cone: Fórmula e Exercício Resolvido

A área do cone corresponde a medida da superfície do cone. A área é calculada somando a área da base pela área da lateral cônica.

O cone é uma figura da geometria espacial, assim ele utiliza as três coordenadas x, y e z. Na geometria espacial, os objetos ocupam uma posição no espaço, enquanto na geometria plana ocupam uma posição em um plano qualquer.

Índice do Artigo

Elementos do Cone

Antes de mostrarmos como se calcula a área do cone, vamos entender como o cone é formado:

• Vértice: o vértice é um ponto superior que define a altura do cone;
• Altura: a altura equivale a medida do segmento de reta que inicia no centro da circunferência e termina no vértice do cone;
• Raio: é o raio da circunferência que forma a base;
• Geratriz: a geratriz é um segmento de reta que inicia em um ponto no arco da base e termina no vértice do cone. Dessa forma, a lateral cônica é formada por um conjunto de geratrizes.

Em relação as geratrizes do cone reto, temos a seguinte relação entre o raio, a altura e a geratriz do cone: g² = r² + h².

Nada mais é do que a aplicação do Teorema de Pitágoras, pois a altura, o raio e a geratriz formam um triângulo retângulo em um cone reto.

Como Calcular a Área do Cone?

A área do cone é calculada somando-se a área da base com a área lateral. Para calcular a área da base é o mesmo que calcular a área de uma circunferência. Para calcular a área lateral precisamos planificar a lateral cônica sobre um plano.

Planificação do Cone

A planificação do cone nada mais é do que abrir a lateral do cone de forma que ela fique sobre um plano e não mais no espaço.

Ao abrirmos a lateral do cone, obtemos uma figura com um raio g e uma parte curva com comprimento l. Onde: l = 2 . π . r

Elementos da Planificação do Cone

Quando abrimos a lateral do cone e colocamos num plano, obtemos uma figura com uma parte circular com os seguintes elementos:

• Raio: o raio g da figura em questão é a geratriz do cone;
• Comprimento do arco: o setor circular da figura possui comprimento igual 2πr, que é igual ao perímetro da base do cone, ou seja, o perímetro de uma circunferência.

Fórmula da Área do Cone

Agora que já temos conhecimento suficiente, podemos apresentar a fórmula para calcular a área.

Para calcular a área do cone como um todo precisamos aprender a calcular a área da base e da lateral do cone.

Área da base

A área da base do cone é calculada da mesma forma que a área de uma circunferência. Então, a área da base é calculada pela seguinte fórmula:

• A_b = π . r²

Onde:

• π: é o número pi (3,14);
• r: é o raio da circunferência da base.

Área lateral

A área lateral do cone equivale a medida da superfície cônica. Para calcular a área lateral usamos a seguinte fórmula:

• A_l = π . r . g

Onde:

• π: é o número pi (3,14);
• r: é o raio da base;
• g: é a medida da geratriz que forma a lateral cônica.

Área total

A área total é calculada somando-se a área da base com a área lateral. Então, para calcular a área total usamos a seguinte fórmula:

• A_t = π . r . (g + r)

Onde:

• π: é o número pi (3,14);
• r: é o raio da base;
• g: é a medida da geratriz.

Área do Tronco do Cone

Se cortarmos uma parte do cone, obtemos um cone contendo duas bases: uma parte contém o vértice do cone, chamada de base menor e a outra contém a base do cone, chamada de base maior.

Esse corte no cone forma uma nova figura geométrica chamada de “tronco do cone”. Essa nova figura possui duas bases opostas e paralelas e a altura equivale a distância entre essas bases.

Área da Base Menor

A área da base menor é dada pela seguinte fórmula:

• A_b = π . r²

Área da Base Maior

A área da base maior é dada pela seguinte fórmula:

• A_B = π . R²

Área Lateral

A área lateral é dada pela seguinte fórmula:

• A_l = π . g . (R + r)

Área Total do Cone

A área total é dada pela seguinte fórmula:

• A_t = A_B + A_b + A_l

Onde:

• A_B: é a área da base maior;
• A_b: é a área da base menor;
• A_l: é a área da lateral.

Exercício Resolvido

1. Calcule a área lateral, a área da base e a área total de um cone circular reto com as seguintes medidas:
   • Altura: 5 cm
   • Raio: 2 cm
2. Resolução:
   • Área lateral:
     • Para calcular a área lateral precisamos encontrar a medida da geratriz. Para isso, vamos aplicar o teorema de Pitágoras:
       • g² = r² + h² ⇒
       • g² = 2² + 5² ⇒
       • g² = 4 + 25 ⇒
       • g² = 29 ⇒
       • g = √29 ⇒
       • g = 5,4 cm
     • Com a medida da geratriz em mãos podemos calcular a área da lateral, para isso vamos aplicar a fórmula:
       • A_l = π . r . g ⇒ A_l = π . 2 . 5,4 ⇒ A_l = 10,8π cm²
   • Área da base:
     • Na área da base aplicamos a seguinte fórmula:
       • A_b = π . r² ⇒ A_b = π . 2² ⇒ A_b = 4π cm²
   • Área total:
     • A área total é a soma das área lateral e da base:
       • A_t = A_b + A_l ⇒ A_t = (4 + 10,8)π ⇒ A_t = 14,8π cm²
     • Poderíamos aplicar a fórmula, mas estaríamos fazendo trabalho repetido. Veja:
       • A_t = π . r .(g + r) ⇒ A_t = π . 2 . (5,4 + 2) ⇒ A_t = π . 2 . 7,4 ⇒ A_t = 14,8π cm²
     • Obtemos o mesmo resultado.

Bom, é isso!

Exercícios Propostos

Acesse os exercícios no link abaixo:

• Exercícios sobre a área do cone

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