Största gemensamma delare för heltal är det största positiva heltal som delar dem alla utan rest. Förkortningen är SGD. Den förkortar bråk och förhållanden, delar mängder i lika grupper och hittar största mått som passar exakt i flera längder.
Gemensamma delare gör definitionen konkret
De positiva delarna till 18 är 1, 2, 3, 6, 9 och 18. För 24 är de 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 och 24. Gemensamma är 1, 2, 3 och 6, alltså är SGD 6. Full listning blir opraktisk för stora tal.
Välj två positiva heltal. Panelen visar varje division och rest i Euklides algoritm så att vägen kan kontrolleras.
Följ Euklides algoritm
Varje steg ersätter paret med delare och rest; den sista icke-nollresten är SGD.
Primtalsfaktorer behåller minsta gemensamma exponent
Faktorisera varje tal i primtal. För varje primtal som finns överallt väljer du den minsta exponenten och multiplicerar potenserna. Metoden fungerar även för tre eller fler tal.
För 84 och 126 är en faktor 2, 3 och 7 gemensam. Produkten är 42. Kontrollen ger 84 delat med 42 lika med 2 och 126 delat med 42 lika med 3. Ingen extra primtalspotens delas.
Euklides algoritm undviker svår faktorisering
Om (a>b>0), dela (a) med (b), ersätt paret med (b) och resten och upprepa. Gemensamma delare bevaras eftersom varje delare till (a) och (b) också delar (a-qb). Sista icke-nollresten är SGD.
För 252 och 105 blir resterna 42, 21 och noll. SGD är 21 utan full faktorisering. Vanligen gäller (gcd(a,0)=|a|), medan (0,0) lämnas odefinierat.
Identiteter ger en oberoende kontroll
Att byta ordning ändrar inte den positiva SGD. Efter division med SGD är kvoterna relativt prima. Dessutom är SGD gånger minsta gemensamma multipel lika med absolutbeloppet av talens produkt.
Kvadratiska plattor utan kapning
Ett golv på 252 cm gånger 105 cm ska täckas med största möjliga kvadratiska plattor utan kapning. Sidan måste dela båda måtten och är 21 cm. Det ryms 12 gånger 5, alltså 60 plattor.
SGD passar bara vid exakt delbarhet. Om spill, tolerans eller avrundade mätningar tillåts behövs ett annat praktiskt kriterium. Omvandla först alla längder till samma exakta enhet.
För tre tal arbetar du stegvis: bestäm först SGD för de två första och sedan SGD för det resultatet och det tredje. SGD för 48 och 72 är 24; tillsammans med 60 blir den 12. Negativa tecken ändrar inte delbarheten, så använd absolutbelopp och ange en positiv SGD. Dividera varje ursprungligt tal med kandidaten. Alla kvoter ska vara heltal, och kandidaten kan inte vara större än absolutbeloppet av en indata som inte är noll. I ett textproblem bör även antalet grupper eller bitar bli helt.
Om frågan gäller antal grupper räcker inte själva SGD. Med gruppstorlek 12 ger 48 objekt 4 grupper och 60 objekt 5. Kontrollera att allt används utan rest och att ordet ”största” syftar på gruppens storlek, inte antalet grupper. De tolkningarna ger olika svar. För fler än tre tal fortsätter samma stegvisa metod tills varje tal har behandlats.
