El máximo común divisor de dos o más enteros es el mayor entero positivo que divide a todos sin resto. Se abrevia MCD. Permite reducir fracciones, simplificar razones, formar grupos iguales y encontrar la mayor medida que encaja exactamente en varias longitudes.
Los divisores comunes construyen la definición
Los divisores positivos de 18 son 1, 2, 3, 6, 9 y 18; los de 24 son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24. Comparten 1, 2, 3 y 6, por lo que el MCD es 6. La lista es clara con números pequeños, pero deja de ser práctica al crecer.
Selecciona dos enteros positivos. El panel aplica Euclides y muestra cada cociente y resto para que el resultado pueda revisarse.
Sigue el algoritmo de Euclides
Cada división reemplaza el par por el divisor y el resto; el último resto no nulo es el MCD.
La factorización conserva exponentes mínimos
Descompón cada número en primos. De cada primo presente en todos, toma el exponente menor y multiplica las potencias elegidas. El método también sirve para tres o más números cuando las factorizaciones son manejables.
Para 84 y 126, los factores compartidos son 2, 3 y 7 una vez cada uno. Su producto es 42. Se verifica porque 84 entre 42 es 2 y 126 entre 42 es 3. Ninguna potencia prima adicional aparece en ambas factorizaciones.
Euclides trabaja bien con enteros grandes
Si (a>b>0), divide (a) entre (b), sustituye el par por (b) y el resto y repite. Los divisores comunes no cambian porque quien divide (a) y (b) también divide (a-qb). Al llegar a resto cero, el último resto no nulo es el MCD.
Con 252 y 105 aparecen los restos 42 y 21, seguidos de cero. El MCD es 21 sin necesidad de factorizar. Por convenio, (gcd(a,0)=|a|); el caso (0,0) suele dejarse sin definir.
Identidades que sirven de control
Cambiar el orden de los números no altera el MCD y el resultado se toma positivo. Al dividir ambos números por él, los cocientes son coprimos. El producto del MCD y el mínimo común múltiplo coincide con el valor absoluto del producto de los dos enteros.
Repartos y medidas sin sobrantes
Un suelo de 252 cm por 105 cm debe cubrirse con las mayores baldosas cuadradas sin cortes. El lado tiene que dividir ambas dimensiones, así que mide 21 cm. Caben 12 por 5, es decir, 60 baldosas.
El modelo exige divisibilidad exacta. Si se admiten recortes, las medidas son aproximadas o existe tolerancia, hace falta otro criterio. Convierte primero todas las longitudes a la misma unidad exacta.
Para tres enteros, calcula el MCD de los dos primeros y después el MCD de ese resultado con el tercero. El MCD de 48 y 72 es 24; al combinar 24 con 60 se obtiene 12. Los signos negativos no cambian la divisibilidad: usa valores absolutos y presenta el resultado como entero positivo.
