Największy wspólny dzielnik kilku liczb całkowitych to największa dodatnia liczba, która dzieli każdą z nich bez reszty. Skrót to NWD. Pomaga skracać ułamki i proporcje, tworzyć równe grupy oraz wybierać największy wymiar pasujący dokładnie do kilku długości.
Wspólne dzielniki pokazują sens definicji
Dodatnie dzielniki 18 to 1, 2, 3, 6, 9 i 18. Dla 24 są to 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 i 24. Wspólne są 1, 2, 3 i 6, więc NWD wynosi 6. Przy dużych liczbach pełna lista jest niewygodna.
Wybierz dwie dodatnie liczby całkowite. Panel pokaże każde dzielenie i resztę, dzięki czemu wynik można prześledzić.
Śledź algorytm Euklidesa
Każdy krok zastępuje parę dzielnikiem i resztą; ostatnia niezerowa reszta to NWD.
Rozkład wybiera najmniejsze wspólne wykładniki
Rozłóż każdą liczbę na czynniki pierwsze. Dla każdego czynnika występującego we wszystkich liczbach zachowaj najmniejszy wykładnik i pomnóż wybrane potęgi. Metoda działa także dla trzech lub większej liczby argumentów.
Dla 84 i 126 wspólne są po jednym czynniku 2, 3 i 7. Ich iloczyn wynosi 42. Kontrola: 84 podzielone przez 42 to 2, a 126 podzielone przez 42 to 3. Nie ma dodatkowej wspólnej potęgi pierwszej.
Algorytm Euklidesa omija trudną faktoryzację
Gdy (a>b>0), podziel (a) przez (b), zastąp parę liczbami (b) i resztą, a następnie powtarzaj. Wspólne dzielniki pozostają te same, bo dzielnik (a) i (b) dzieli też (a-qb). Ostatnia niezerowa reszta jest NWD.
Dla 252 i 105 kolejne reszty to 42, 21 i zero. NWD wynosi 21 bez pełnego rozkładu. Zwykle przyjmuje się (gcd(a,0)=|a|), natomiast (0,0) pozostawia niezdefiniowane.
Tożsamości dają niezależną kontrolę
Zmiana kolejności liczb nie wpływa na NWD, który jest dodatni. Po podzieleniu obu argumentów przez NWD otrzymuje się liczby względnie pierwsze. Iloczyn NWD i NWW równa się wartości bezwzględnej iloczynu obu liczb.
Wykładanie podłogi bez przycinania
Podłoga ma 252 cm na 105 cm i ma być pokryta największymi kwadratowymi płytkami bez cięcia. Bok musi dzielić oba wymiary, więc ma 21 cm. Mieści się 12 na 5, czyli 60 płytek.
NWD rozwiązuje zadania wymagające dokładnej podzielności. Jeśli dopuszcza się odpady, tolerancje lub zaokrąglone pomiary, potrzebne jest inne kryterium. Najpierw przelicz wszystkie długości na tę samą dokładną jednostkę.
Dla trzech liczb postępuj etapami: najpierw wyznacz NWD pierwszych dwóch, a potem NWD otrzymanego wyniku i trzeciej. NWD liczb 48 i 72 wynosi 24; po połączeniu z 60 otrzymujemy 12. Ujemne znaki nie zmieniają podzielności, dlatego używa się wartości bezwzględnych i podaje dodatni NWD. Kandydat powinien dzielić każdy argument bez reszty i nie może przekraczać wartości bezwzględnej żadnego niezerowego argumentu. W zadaniu tekstowym sprawdź również, czy po podziale liczby grup lub odcinków są całkowite.
Jeśli zadanie pyta o liczbę grup, nie kończ na samym NWD. Przy rozmiarze grupy 12 liczba 48 daje 4 grupy, a 60 daje 5. Sprawdź, czy wszystkie elementy wykorzystano bez reszty i czy słowo „największy” odnosi się do rozmiaru grupy, a nie do liczby grup. Te dwie interpretacje prowadzą do innych odpowiedzi.
