Kokonaislukujen suurin yhteinen tekijä on suurin positiivinen kokonaisluku, joka jakaa ne kaikki ilman jakojäännöstä. Lyhenne on SYT. Se supistaa murtolukuja ja suhteita, jakaa määrät samankokoisiin ryhmiin ja löytää suurimman mitan, joka sopii täsmälleen useaan pituuteen.
Yhteiset tekijät konkretisoivat määritelmän
Luvun 18 positiiviset tekijät ovat 1, 2, 3, 6, 9 ja 18. Luvulla 24 ne ovat 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ja 24. Yhteisiä ovat 1, 2, 3 ja 6, joten SYT on 6. Täysi luettelo on hankala suurille luvuille.
Valitse kaksi positiivista kokonaislukua. Paneeli näyttää jokaisen Eukleideen algoritmin jaon ja jakojäännöksen.
Seuraa Eukleideen algoritmia
Jokainen vaihe korvaa parin jakajalla ja jakojäännöksellä; viimeinen nollasta poikkeava jäännös on SYT.
Alkutekijähajotelma säilyttää pienimmät eksponentit
Hajota jokainen luku alkutekijöihin. Valitse jokaiselle kaikissa esiintyvälle alkuluvulle pienin eksponentti ja kerro valitut potenssit. Menetelmä toimii myös kolmelle tai useammalle luvulle.
Luvuilla 84 ja 126 yhteisiä ovat yksi tekijä 2, 3 ja 7. Tulo on 42. Tarkistus: 84 jaettuna 42:lla on 2 ja 126 jaettuna 42:lla on 3. Yhteistä lisäpotenssia ei ole.
Eukleideen algoritmi välttää vaikean hajotelman
Kun (a>b>0), jaa (a) luvulla (b), korvaa pari luvulla (b) ja jakojäännöksellä ja toista. Yhteiset tekijät säilyvät, koska (a):n ja (b):n jakaja jakaa myös (a-qb):n. Viimeinen nollasta poikkeava jäännös on SYT.
Luvuilla 252 ja 105 jäännökset ovat 42, 21 ja nolla. SYT on 21 ilman täyttä hajotelmaa. Tavallisesti (gcd(a,0)=|a|), kun taas (0,0) jätetään määrittelemättä.
Identiteetit tarjoavat riippumattoman tarkistuksen
Syötteiden järjestys ei muuta positiivista SYT:tä. Kun molemmat jaetaan SYT:llä, osamäärät ovat keskenään jaottomia. Lisäksi SYT kertaa pienin yhteinen monikerta on lukujen tulon itseisarvo.
Neliölaatat ilman leikkaamista
252 cm kertaa 105 cm lattia peitetään suurimmilla neliölaatoilla ilman leikkausta. Sivun pitää jakaa molemmat mitat, joten se on 21 cm. Laattoja tulee 12 kertaa 5 eli 60.
SYT sopii täsmälliseen jaollisuuteen. Jos hukka, toleranssi tai pyöristetyt mitat sallitaan, käytännön valinta tarvitsee muun ehdon. Muunna pituudet ensin samaan täsmälliseen yksikköön.
Kolmelle luvulle etene vaiheittain: määritä ensin kahden ensimmäisen SYT ja sitten tämän tuloksen ja kolmannen luvun SYT. Lukujen 48 ja 72 SYT on 24; yhdistettynä lukuun 60 tulos on 12. Negatiiviset merkit eivät muuta jaollisuutta, joten käytä itseisarvoja ja ilmoita positiivinen SYT. Jaa jokainen alkuperäinen luku ehdokkaalla. Kaikkien osamäärien pitää olla kokonaislukuja, eikä ehdokas voi ylittää minkään nollasta poikkeavan syötteen itseisarvoa. Sanallisessa tehtävässä myös ryhmien, laattojen tai pätkien lukumäärän on oltava kokonainen ja vastattava tilanteen ehtoja.
Jos tehtävä kysyy ryhmien lukumäärää, SYT ei vielä ole lopullinen vastaus. Kun 48 ja 60 esinettä jaetaan 12 esineen ryhmiin, ryhmiä syntyy vastaavasti 4 ja 5. Tarkista aina, että jako menee tasan ja että sana ”suurin” tarkoittaa ryhmän kokoa eikä ryhmien määrää. Usean luvun tapauksessa jatka vaiheittaista menetelmää, kunnes kaikki annetut luvut ovat mukana.
Vältä myös desimaalilukujen SYT:n laskemista suoraan pyöristetyistä esityksistä. Jos mitat 1,20 m ja 1,80 m ovat täsmällisiä senttimetrin tarkkuudella, muuta ne ensin luvuiksi 120 cm ja 180 cm. Tällöin SYT 60 cm on perusteltu. Jos mitat ovat vain likimääräisiä, sama tulos ei välttämättä kuvaa todellista yhteistä pituutta. Kirjaa siis sekä yhteinen yksikkö että oletus lähtöarvojen täsmällisyydestä.
