O máximo divisor comum de dois ou mais números inteiros é o maior inteiro positivo que divide todos eles sem resto. Escreve-se (gcd(a,b)) em notação internacional e MDC em português. O conceito serve para simplificar frações e razões, formar grupos iguais e encontrar o maior tamanho que cabe exatamente em vários comprimentos.
Os divisores mostram o que há em comum
Os divisores positivos de 18 são 1, 2, 3, 6, 9 e 18. Os de 24 são 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24. Os divisores comuns são 1, 2, 3 e 6, logo o MDC é 6. A listagem funciona com números pequenos, mas torna-se lenta à medida que os valores crescem.
No explorador, escolha dois inteiros positivos. O algoritmo apresenta cada divisão e cada resto, em vez de fornecer apenas uma resposta isolada.
Acompanhe o algoritmo de Euclides
Em cada linha, o par anterior é substituído pelo divisor e pelo resto; o último resto não nulo é o MDC.
A fatorização conserva as menores potências comuns
Decomponha cada número em fatores primos. Para cada primo presente em todos os números, escolha o menor expoente e multiplique as potências selecionadas. O método evidencia a estrutura e também funciona com três ou mais números.
Em 84 e 126, as potências comuns são um fator 2, um fator 3 e um fator 7. O produto é 42. A verificação é direta: 84 dividido por 42 é 2 e 126 dividido por 42 é 3. Nenhum divisor comum maior é possível porque falta pelo menos uma potência adicional numa das fatorizações.
Euclides evita fatorizar números grandes
Se (a>b>0), divida (a) por (b). Substitua o par por (b) e pelo resto e repita. Os divisores comuns não mudam, pois todo número que divide (a) e (b) também divide o resto (a-qb). Quando o resto é zero, o último resto não nulo é o MDC.
Para 252 e 105, os restos sucessivos são 42 e 21, seguidos de zero. Portanto, o MDC é 21. Pela convenção usual, (gcd(a,0)=|a|); o par (0,0) fica normalmente sem definição.
Identidades úteis para conferir a resposta
Trocar a ordem dos números não altera o MDC, que é tomado como positivo. Ao dividir ambos pelo MDC, os quocientes tornam-se primos entre si. O produto do MDC pelo mínimo múltiplo comum é igual ao valor absoluto do produto dos dois números, o que permite verificar ambos os cálculos.
Quando a aplicação exige divisão exata
Imagine um piso de 252 cm por 105 cm coberto com os maiores ladrilhos quadrados possíveis, sem cortes. O lado do ladrilho deve dividir os dois comprimentos, logo mede 21 cm. Cabem 12 por 5 ladrilhos, num total de 60.
O modelo só é adequado quando se exige uma divisão exata. Se houver tolerância, desperdício permitido ou medições aproximadas, o problema prático pode precisar de outro critério. Converta todos os comprimentos para a mesma unidade exata antes de calcular.
Para três números, calcule primeiro o MDC de dois e depois o MDC desse resultado com o terceiro. Por exemplo, o MDC de 48 e 72 é 24; o MDC de 24 e 60 é 12. Sinais negativos não mudam a divisibilidade: trabalhe com valores absolutos e apresente o MDC como inteiro positivo.
