Il massimo comune divisore di due o più interi è il più grande intero positivo che li divide tutti senza resto. Si abbrevia MCD. Serve a ridurre frazioni e rapporti, creare gruppi uguali e scegliere la misura massima che entra esattamente in più lunghezze.
I divisori comuni rendono concreta la definizione
I divisori positivi di 18 sono 1, 2, 3, 6, 9 e 18; quelli di 24 sono 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24. Hanno in comune 1, 2, 3 e 6, quindi il MCD è 6. L'elenco completo diventa scomodo con numeri grandi.
Scegli due interi positivi. Il pannello mostra ogni divisione euclidea e ogni resto, così il risultato rimane verificabile.
Segui l'algoritmo di Euclide
Ogni riga sostituisce la coppia con divisore e resto; l'ultimo resto non nullo è il MCD.
La fattorizzazione conserva gli esponenti minimi
Scomponi ogni numero in fattori primi. Per ciascun primo presente in tutti, scegli l'esponente minore e moltiplica le potenze selezionate. Il metodo si estende anche a tre o più interi.
Per 84 e 126, i fattori comuni sono 2, 3 e 7 una volta ciascuno. Il prodotto è 42. Infatti, 84 diviso 42 è 2 e 126 diviso 42 è 3; non esiste un'ulteriore potenza prima condivisa.
Euclide evita fattorizzazioni difficili
Se (a>b>0), dividi (a) per (b), sostituisci la coppia con (b) e il resto e ripeti. I divisori comuni non cambiano, perché chi divide (a) e (b) divide anche (a-qb). L'ultimo resto non nullo è il MCD.
Con 252 e 105, i resti sono 42, 21 e infine zero. Il MCD è 21 senza fattorizzare. Per convenzione, (gcd(a,0)=|a|), mentre (0,0) viene di solito lasciato indefinito.
Identità utili per la verifica
Scambiare gli input non cambia il MCD, preso positivo. Dividendo entrambi per esso si ottengono interi coprimi. Inoltre, MCD per minimo comune multiplo equivale al valore assoluto del prodotto dei due numeri.
Una pavimentazione senza tagli
Un pavimento di 252 cm per 105 cm deve essere coperto con le più grandi piastrelle quadrate senza tagli. Il lato deve dividere entrambe le dimensioni e misura 21 cm. Servono 12 per 5, cioè 60 piastrelle.
Il MCD risolve una richiesta di divisibilità esatta. Se sono ammessi scarti, tolleranze o misure arrotondate, occorre un altro criterio pratico. Converti prima tutte le lunghezze nella stessa unità esatta.
Per tre interi, calcola prima il MCD dei primi due e poi il MCD tra quel risultato e il terzo. Il MCD di 48 e 72 è 24; combinato con 60 diventa 12. I segni negativi non modificano la divisibilità: usa i valori assoluti e presenta un risultato positivo. La divisione per il candidato deve dare un quoziente intero per ogni valore.
Se il problema chiede il numero di gruppi, non fermarti al divisore. Con MCD 12, per esempio, 48 oggetti formano 4 gruppi unitari di quella misura e 60 ne formano 5. Verifica che ogni quantità sia esaurita senza resto e che “massimo” si riferisca alla dimensione del gruppo, non al numero di gruppi.
