• Pular para navegação primária
  • Skip to main content
  • Pular para sidebar primária
Matemática Básica

Conteúdos de Matemática Básica para todos

  • Ensino Fundamental
    • Aritmética
    • Conjuntos
    • Conjuntos Numéricos
    • Equação
    • Frações
    • Múltiplos e Divisores
    • Sequência
    • Unidades de medidas
  • Ensino Médio
    • Contagem
    • Estatística
    • Funções
    • Geometria
    • Geometria Espacial
    • Geometria Plana
    • Retas
    • Lógica
    • Matriz
    • Polinômio
    • Sistemas
    • Trigonometria
  • Matemática Financeira
    • Porcentagem
    • Juros Simples
    • Juros Compostos
Página Inicial / Ensino Médio / Geometria / Geometria Plana / Triângulo / Semelhança de Triângulos: Veja Como Identificar

Semelhança de Triângulos: Veja Como Identificar

A ideia de semelhança de triângulos em figuras planas na Geometria é de suma importância. Duas figuras são semelhantes quando elas possuem ângulos congruentes e lados proporcionais. Para indicar semelhança na matemática usamos a notação ~.

Definição

Seja dois triângulos ABC e A’B’C’, eles são semelhantes se, e somente se, as medidas dos ângulos sejam congruentes (medidas iguais) e as medidas dos lados respectivos sejam proporcionais.

Exemplo:

Os triângulos ABC e A’B’C’ da figura a abaixo são semelhantes pois possuem ângulos correspondentes com medidas iguais.

Definição de Semelhança

Assim, podemos afirmar que:

Δ ABC ~ Δ A’B’C’ ⇔

fórmula

O número k é um valor constante e é chamado de razão de semelhança.

Casos de Semelhança de Triângulos

Apesar da definição informar que se dois triângulos são semelhantes eles possuem ângulos congruentes e lados proporcionais, não precisamos verificar todas essas propriedades para conferir todas as condições.

Veja, então, os três casos que garante a semelhança entre os triângulos:

Critério (AA~: Ângulo – Ângulo): Quando possuem dois pares de ângulos correspondentes congruentes, então eles são semelhantes.

Exemplo:

Seja os triângulos ABC e A’B’C’ abaixo:

Critério AA~: Ângulo - Ângulo)

Se os ângulos correspondentes possuem as mesmas medidas, então podemos afirmar que:

Casos de Semelhança de Triângulos

Critério (LAL~: Lado – Ângulo – Lado): Se dois lados de um triângulo tem medidas proporcionais a medida de dois lados de outro triângulo e os ângulos entre esses lados são congruentes, então eles são semelhantes.

Exemplo:

Seja os triângulos ABC e A’B’C’ abaixo:

ritério LAL~: Lado - Ângulo - Lado

Se pelo menos dois ângulos correspondentes são congruentes e dois lados correspondentes são proporcionais, então podemos afirmar que:

Critério (LLL~: Lado – Lado – Lado): Se dois triângulos possuem as medidas relativas aos três lados correspondentes proporcionais, então eles são semelhantes.

Exemplo:

Seja os triângulos ABC e A’B’C’ abaixo:

Critério LLL~: Lado - Lado - L

Se todos os lados dos triângulos possuem medidas proporcionais, então podemos afirmar que:

Casos de Semelhança

Razão de Semelhança

A razão que define a semelhança entre dois triângulos é a razão entre as medidas dos lados correspondentes.

Dessa forma, se a razão de semelhança entre dois triângulos é um número k, então a razão entre dois elementos dos triângulos será k.

Isto quer dizer que se a razão de semelhança entre dois triângulos é 5, a razão entre as medianas correspondentes será 5, a razão entre as alturas será 5, e assim por diante.

Exemplo:

Seja os triângulos ABC e ADE abaixo:

Razão

Onde:

  • AQ e AP são as alturas.
  • AM e AN são as medianas.

Com isso, temos que a razão de semelhança do triangulo ABC para o triângulo ADE é o número k, de forma que k seja proporcional as medidas referentes a altura, medianas e dos lados do triângulo, entre outros.

Então, podemos afirmar que:

Razão de Semelhança dos Triângulos

Teorema Fundamental

O teorema fundamental da semelhança diz que se traçarmos uma reta paralela a um dos lados de um triângulo, essa reta intercepta os outros dois lados do triângulo em pontos diferentes. O triângulo formado é semelhante ao triângulo original.

Veja na figura abaixo que o triângulo ABC é cortado por uma reta r é paralela ao lado BC.

Teorema Fundamental

Para verificar que os triângulos são semelhantes, devemos observar se o triângulo original é semelhante ao triângulo formado pela reta r.

Ao observar a imagem acima, percebe-se que os ângulos B e D e também E e C são semelhantes pois DE // BC, de acordo com o postulado das retas paralelas.

Como o ângulo A é um ângulo comum aos dois triângulos, temos que os ângulos são congruentes para os dois triângulos.

Portanto, pelo critério (AA), os triângulos ABC e ADE são semelhantes.

Para saber mais leia sobre o Teorema de Tales.

Casos de Congruência de Triângulos

Semelhança de triângulos é diferente de igualdade entre os triângulos. Assim, para verificar se dois triângulos são iguais devemos observar os seguintes casos:

  1. Os triângulos possuem lados com medidas iguais.
  2. Dois lados dos triângulos possuem medidas iguais, assim como o ângulo correspondente também possui a mesma medida.
  3. Dois ângulos dos triângulos possuem medidas iguais e o lado entre esses ângulos tenha a mesma medida.

Relações Métricas no Triângulo Retângulo

Os triângulos retângulos são os triângulos que possuem um ângulo reto, ou seja, ângulo que mede 90°.

No triângulo ABC abaixo, a altura h, relativa a hipotenusa divide o triângulo em dois triângulos retângulos.

relações métricas no triângulo retângulo

Como os triângulos ABC, ABH e ACH possuem um ângulo que mede 90°, e os lados AB e AC, AH e CH e AH e BH são proporcionais, então podemos afirmar que os triângulos são semelhantes, pelo critério LAL~. Logo: ABC ~ ABH ~ ACH.

Dessa forma, como as medidas dos lados são proporcionais temos as seguintes relações entre as medidas dos lados:

Relações Métricas no Triângulo Retângulo
b² = a . n
c² = a . m
a² = b² + c²
h² = m . n
b . c = a . h

Estude mais sobre as relações métricas no triângulo retângulo e também sobre o Teorema de Pitágoras.

Exercícios

Acesse os exercícios no link a seguir:

  • Exercícios sobre semelhança de triângulos

Bons estudos!

Compartilhe isto!
WhatsApp iconFacebook iconTwitter iconPinterest iconReddit icon

Jean Carlos Novaes

Muito mais presente no mundo virtual que no mundo real. Curto séries, tecnologia e coisas modernas. Tenho um objetivo de viajar o mundo em breve.

Sidebar primária

Conteúdo o site

  • Ensino Fundamental
    • Aritmética
    • Conjuntos
      • Conjuntos Numéricos
    • Equação
    • Frações
    • Múltiplos e Divisores
    • Sequência
    • Unidades de medidas
  • Ensino Médio
    • Contagem
    • Estatística
    • Funções
    • Geometria
      • Geometria Espacial
        • Cilindro
        • Cone
        • Cubo
        • Esfera
        • Paralelepípedo
        • Pirâmide
        • Prisma
      • Geometria Plana
        • Ângulo
        • Área
        • Círculo
        • Circunferência
        • Figuras Planas
        • Losango
        • Paralelogramo
        • Perímetro
        • Quadrado
        • Retângulo
        • Trapézio
        • Triângulo
      • Retas
    • Lógica
    • Matriz
    • Polinômio
    • Sistemas
    • Trigonometria
  • Matemática
  • Matemática Financeira
    • Juros

Copyright © 2015–2021 · Matemática Básica

  • Página Inicial
  • Como Citar
  • Sobre Nós
  • Política de privacidade
  • Licença do conteúdo
  • Contato
  • Mapa do Site