Semelhança de Triângulos

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A ideia de semelhança de triângulos em figuras planas na Geometria é de suma importância. Duas figuras são semelhantes quando elas possuem a mesma forma. Para indicar semelhança na matemática usamos a notação ~.

Índice do Artigo

Definição de Semelhança de Triângulos

Seja dois triângulos ABC e A’B’C’, eles são semelhantes se, e somente se, as medidas dos ângulos sejam congruentes (medidas iguais) e as medidas dos lados respectivos sejam proporcionais.

Exemplo:

Os triângulos ABC e A’B’C’ da figura a abaixo são semelhantes pois possuem ângulos correspondentes com medidas iguais.

Assim, podemos afirmar que:

Δ ABC ~ Δ A’B’C’ ⇔

O número k é um valor constante e é chamado de razão de semelhança.

Casos de Semelhança de Triângulos

Apesar da definição de semelhança de triângulos informar que se dois triângulos são semelhantes eles possuem ângulos congruentes e lados proporcionais, não precisamos verificar todas essas propriedades para conferir todas essas condições.

Veja, então, os três casos que garante a semelhança entre triângulos:

Critério (AA~: Ângulo - Ângulo): Quando possuem dois pares de ângulos correspondentes congruentes, então eles são semelhantes.
Exemplo:
Seja os triângulos ABC e A’B’C’ abaixo:
Se os ângulos correspondentes possuem as mesmas medidas, então podemos afirmar que:
Critério (LAL~: Lado - Ângulo - Lado): Se dois lados de um triângulo tem medidas proporcionais a medida de dois lados de outro triângulo e os ângulo entre esses lados são congruentes, então eles são semelhantes.
Exemplo:
Seja os triângulos ABC e A’B’C’ abaixo:
Se pelo menos dois ângulos correspondentes são congruentes e dois lados correspondentes são proporcionais, então podemos afirmar que:
Critério (LLL~: Lado - Lado - Lado): Se dois triângulos possuem as medidas relativas aos três lados correspondentes proporcionais, então eles são semelhantes.
Exemplo:
Seja os triângulos ABC e A’B’C’ abaixo:
Se todos os lados dos triângulos possuem medidas proporcionais, então podemos afirmar que:

Razão de Semelhança dos Triângulos

A razão que define a semelhança entre dois triângulos é a razão entre as medidas dos lados correspondentes.

Dessa forma, se a razão de semelhança entre dois triângulos é um número k, então a razão entre dois elementos dos triângulos será k.

Isto quer dizer que se a razão de semelhança entre dois triângulos é 5, a razão entre as medianas correspondentes será 5, a razão entre as alturas será 5, e assim por diante.

Exemplo:

Seja os triângulos ABC e ADE abaixo:

Onde:

AQ e AP são as alturas.
AM e AN são as medianas.

Com isso, temos que a razão de semelhança do triangulo ABC para o triângulo ADE é o número k, de forma que k seja proporcional as medidas referentes a altura, medianas e dos lados do triângulo, entre outros.

Então, podemos afirmar que:

Teorema Fundamental da Semelhança

O teorema fundamental da semelhança diz que se traçarmos uma reta paralela a um dos lados de um triângulo, essa reta intercepta os outros dois lados do triângulo em pontos diferentes. O triângulo formado é semelhante ao triângulo original.

Veja na figura abaixo que o triângulo ABC é cortado por uma reta r é paralela ao lado BC.

Para verificar que os triângulos são semelhantes, devemos observar se o triângulo original é semelhante ao triângulo forma pela reta r.

Ao observar a imagem acima, percebe-se que os ângulos B e D e E e C são semelhantes pois DE // BC, de acordo com o postulado das retas paralelas.

Como o ângulo A é um ângulo comum aos dois triângulos, temos que os ângulos são congruentes para os dois triângulos.

Portanto, pelo critério (AA), os triângulos ABC e ADE são semelhantes.

Para saber mais leia sobre o Teorema de Tales.

Casos de Congruência de Triângulos

Semelhança de triângulos é diferente de igualdade entre os triângulos. Assim, para verificar se dois triângulos são iguais devemos observar os seguintes casos:

Os triângulos possuem lados com medidas iguais.
Dois lados dos triângulos possuem medidas iguais, assim como o ângulo correspondente também possuem a mesma medida.
Dois ângulos dos triângulos possuem medidas iguais e o lado entre esses ângulos tenha a mesma medida.

Relações Métricas no Triângulo Retângulo

Os triângulos retângulos são os triângulos que possuem um ângulo reto, ou seja, ângulo que mede 90°.

No triângulo ABC abaixo, a altura h, relativa a hipotenusa divide o triângulo em dois triângulos retângulos.

Relações Métricas no Triângulo Retângulo

Como os triângulos ABC, ABH e ACH possui um ângulo que mede 90°, e os lados AB e AC, AH e CH e AH e BH são proporcionais, então podemos afirmar que os triângulos são semelhantes, pelo critério LAL~. Logo: ABC ~ ABH ~ ACH.

Dessa forma, como as medidas dos lados são proporcionais temos as seguintes relações entre as medidas dos lados:

Relações Métricas no Triângulo Retângulo
b² = a . n
c² = a . m
a² = b² + c²
h² = m . n
b . c = a . h

Estude mais sobre as relações métricas no triângulo retângulo e também sobre o Teorema de Pitágoras.

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Bons estudos 😄

Autor

by Jean Carlos Novaes

Formado em Ciência da Computação na UFBA. Depois de ficar sete anos tentando cursar uma universidade, conseguiu entrar na UFBA prestando um dos mais concorridos vestibulares do país.
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