Retas Paralelas

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Chamamos de retas paralelas duas retas distintas que possuem os mesmos coeficientes angulares e coeficientes lineares diferentes. As retas paralelas não se cruzam, portanto não há pontos em comuns entre elas e a distância entre elas são sempre iguais.

Retas paralelas cortadas por uma transversal

Euclides propôs que a condição para que duas retas sejam paralelas é uma reta transversal, não perpendicular, que corta as duas formando ângulos alternados congruentes.

Essa proposição de Euclides pode ser visto na imagem a seguir:

Retas Paralelas

Seja duas retas r e s, paralelas entre si, então a transversal t, não perpendicular a r e s, temos que os 8 (oitos) ângulos formados pela reta transversal com as retas r e s, quatro deles serão agudos (α) e congruentes (mesma medida), os outros quatros serão obtusos (β) e congruentes. Além disso, os ângulos obtusos e agudos serão suplementares (medem 180°).

Os ângulos β (beta) tem medidas iguais, assim como os ângulos α (alfa). E a soma de α + β é 180°, dessa forma eles são suplementares.

Os ângulos formados pelas retas paralelas com a transversal são nomeados como: ângulos correspondentes, alternos e colaterais

Ângulos Correspondentes

Os ângulos correspondentes são aqueles que possuem as mesmas medidas e ocupam a mesma posição. Na imagem os ângulos α e β, além de ocuparem a mesma posição, são congruentes.

Retas Paralelas

Ângulos Alternos

Os ângulos alternos são os ângulos que estão em lados opostos, os ângulos α e β estão em lados diferente da reta transversal. Além disso, os ângulos alternos são congruentes. Eles também podem está dentro ou fora das retas r e s.

Retas Paralelas

Ângulos Colaterais

Os ângulos colaterais são aqueles que estão do mesmo lado da reta transversal, mas em posições diferentes. Eles não são congruentes. Porém são suplementares, ou seja, a soma das suas medidas é igual a 180°.

Retas Paralelas

Teorema de Tales

Seja as retas paralelas a, b e c que são cortadas pelas retas transversais r e s. Como mostra a figura a seguir:

Retas Paralelas

Tales afirma que quando um feixe de retas paralelas são cortadas por duas retas transversais, os segmentos formados nas retas transversais são proporcionais.

Observando a imagem acima, os segmentos AB e DE, BC e EF e AC e DF são segmentos proporcionais. Assim, segundo o Teorema de Tales, a razão entre os segmentos correspondentes nas duas transversais é constante, então:

Retas Paralelas

Exercícios Resolvidos

  1. Encontre os valores para x e y que corresponde as medidas dos ângulos na figura:

    Exercícios Resolvidos Retas Paralelas

    Resolução:

    Ao analisar a imagem percebe-se que x e 60° são ângulos alternos, em retas paralelas cortadas por uma transversal os ângulos alternos são congruentes. Portanto x = 60°

    O ângulo ao lado de y é correspondente ao ângulo de 60°, dessa forma podemos encontrar a medida de y assim:

    Como y e 60° são suplementares, a soma deles mede 180°.

    y = 180° - 60° = 120°

  2. Dadas as equações gerais das retas r e s a seguir, verifique se elas são paralelas entre si.

    • r: -2x + y + 2 = 0
    • s: -2x + y + 4 = 0

    Resolução:

    A equação de r e s pode ser escrita da seguinte forma:

    • r: y = arx + br

    • s: y = asx + bs

    Duas retas são paralelas se seus coeficientes angulares são iguais: ar = as

    Para responder a questão precisamos encontrar o coeficiente angular de cada reta através da equação de cada reta.

    • Coeficiente angular da reta r:

      -2x + y + 2 = 0 ⇒

      y = 2x - 2

      mr = 2

    • Coeficiente angular da reta s:

      -2x + y + 4 = 0 ⇒

      y = 2x - 4

      ms = 2

      Assim, como os coeficientes angulares das retas r e s são iguais, temos que as duas retas são paralelas.

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Bons estudos! 😄






Autor

Jean Carlos Novaes by

Formado em Ciência da Computação na UFBA. Depois de ficar sete anos tentando cursar uma universidade, conseguiu entrar na UFBA prestando um dos mais concorridos vestibulares do país.
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