Relações Métricas no Triângulo Retângulo

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As relações métricas no triângulo retângulo relacionam as medidas entre os elementos do triângulo.

O triângulo retângulo ABC a seguir apresenta os elementos principais:

Relações métricas no triângulo retângulo

Onde:

  • a: representa a hipotenusa;
  • c e b: são os catetos;
  • h: é a altura do triângulo em relação a hipotenusa;
  • m e n: são, respectivamente, as projeções dos catetos c e b sobre a hipotenusa.

Triângulos Retângulos Semelhantes

Em qualquer triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa divide o triângulo retângulo em dois triângulo também retângulos que, são semelhantes ao primeiro e semelhantes entre si.

Exemplo:

Seja o triângulo ABC com hipotenusa a e altura h:

Relações métricas no triângulo retângulo

Para o triângulo retângulo ABC acima, sendo BC = a, AC = b, AB = c, AH = h, BH = m, e CH = n, então as seguintes relações são válidas:

  • Relações de Euclides
    1. b² = a . n
    2. c² = a . m
  • Teorema de Pitágoras

    1. a² = b² + c²
  • h² = m . n

  • b . c = a . h

Os triângulos HCA e ACB são semelhantes entre si obedecendo o critério (AA~). Então:

Relações métricas no triângulo retângulo

Os triângulos HBA e ABC também são semelhantes entre si obedecendo o critérios (AA~). Então:

Relações métricas no triângulo retângulo

Se somarmos membro a membro as relações que mostramos acima, então chegamos no Teorema de Pitágoras:

an + am = b² + c² ⇔ a(n + m) = b² + c² ⇔ a . a = b² + c² ⇔ a² = b² + c²

Os triângulos HBA e HAC também são semelhantes pelo critério (AA~). Então, temos que:

Relações métricas no triângulo retângulo

Os triângulos HBA e ABC são semelhantes entre si pelo critério (AA~). Então:

Relações métricas no triângulo retângulo

Exercício Resolvido

  1. Encontre o valor de x, y e z no triângulo retângulo:

    Relações métricas no triângulo retângulo

    Resolução:

    Cálculo do valor de z

    z = 8 + 2 = 10

    Agora, para encontrar o valor de x vamos aplicar a relação: c² = a . m

    x² = 10 . 2 ⇒ x² = 20 ⇒ x = √20 = 2√5 = 4,47

    Vamos calcular o valor de y aplicando a relação: h² = m . n

    y² = 8 . 2 ⇒ y² = 16 ⇒ y = √16 = 4

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Bons estudos! 😄






Autor

Jean Carlos Novaes by

Formado em Ciência da Computação na UFBA. Depois de ficar sete anos tentando cursar uma universidade, conseguiu entrar na UFBA prestando um dos mais concorridos vestibulares do país.
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