Relações Métricas no Triângulo Retângulo

As relações métricas no triângulo retângulo relacionam as medidas entre os elementos do triângulo.

Índice do Artigo

O triângulo retângulo ABC a seguir apresenta os elementos principais:

relações métricas no triângulo retângulo

Onde:

Triângulos Retângulos Semelhantes

Em qualquer triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa divide o triângulo retângulo em dois triângulos, que também são retângulos. Sendo os dois triângulos semelhantes ao primeiro e semelhantes entre si.

Exemplo:

Seja o triângulo ABC com hipotenusa a e altura h:

relações métricas no triângulo retângulo

Para o triângulo retângulo ABC acima, sendo BC = a, AC = b, AB = c, AH = h, BH = m, e CH = n, então as seguintes relações são válidas:

Os triângulos HCA e ACB são semelhantes entre si obedecendo ao critério (AA~). Então:

Relações métricas no triângulo retângulo

Os triângulos HBA e ABC também são semelhantes entre si obedecendo ao critérios (AA~). Então:

Se somarmos membro a membro as relações que mostramos acima, então chegamos no Teorema de Pitágoras:

an + am = b² + c² ⇔ a(n + m) = b² + c² ⇔ a . a = b² + c² ⇔ a² = b² + c²

Os triângulos HBA e HAC também são semelhantes pelo critério (AA~). Então, temos que:

Os triângulos HBA e ABC são semelhantes entre si pelo critério (AA~). Então:

Relações métricas no triângulo retângulo

Estão são as principais relações métricas no triângulo retângulo, e importantes no cálculo de problemas.

Exercício Resolvido

Encontre o valor de x, y e z no triângulo retângulo:

Relações métricas no triângulo retângulo

Resolução:

Cálculo do valor de z

Agora, para encontrarmos o valor de x vamos aplicar a relação: c² = a . m

Vamos calcular o valor de y aplicando a relação: h² = m . n

Bons estudos!

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Authorby Jean Carlos Novaes