Relações Métricas no Triângulo Retângulo

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As relações métricas no triângulo retângulo relacionam as medidas entre os elementos do triângulo.

Índice do Artigo

O triângulo retângulo ABC a seguir apresenta os elementos principais:

relações métricas no triângulo retângulo

Onde:

  • a: representa a hipotenusa;
  • c e b: são os catetos;
  • h: é a altura do triângulo em relação a hipotenusa;
  • m e n: são, respectivamente, as projeções dos catetos c e b sobre a hipotenusa.

Triângulos Retângulos Semelhantes

Em qualquer triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa divide o triângulo retângulo em dois triângulo também retângulos que, são semelhantes ao primeiro e semelhantes entre si.

Exemplo:

Seja o triângulo ABC com hipotenusa a e altura h:

relações métricas no triângulo retângulo

Para o triângulo retângulo ABC acima, sendo BC = a, AC = b, AB = c, AH = h, BH = m, e CH = n, então as seguintes relações são válidas:

  • Relações de Euclides
    1. b² = a . n
    2. c² = a . m
  • Teorema de Pitágoras
    1. a² = b² + c²
  • h² = m . n
  • b . c = a . h

Os triângulos HCA e ACB são semelhantes entre si obedecendo o critério (AA~). Então:

Relações métricas no triângulo retângulo

Os triângulos HBA e ABC também são semelhantes entre si obedecendo o critérios (AA~). Então:

Se somarmos membro a membro as relações que mostramos acima, então chegamos no Teorema de Pitágoras:

an + am = b² + c² ⇔ a(n + m) = b² + c² ⇔ a . a = b² + c² ⇔ a² = b² + c²

Os triângulos HBA e HAC também são semelhantes pelo critério (AA~). Então, temos que:

Os triângulos HBA e ABC são semelhantes entre si pelo critério (AA~). Então:

Relações métricas no triângulo retângulo

Exercício Resolvido

Encontre o valor de x, y e z no triângulo retângulo:

Relações métricas no triângulo retângulo

Resolução:

Cálculo do valor de z

z = 8 + 2 = 10

Agora, para encontrar o valor de x vamos aplicar a relação: c² = a . m

x² = 10 . 2 ⇒ x² = 20 ⇒ x = √20 = 2√5 = 4,47

Vamos calcular o valor de y aplicando a relação: h² = m . n

y² = 8 . 2 ⇒ y² = 16 ⇒ y = √16 = 4

Dúvidas, poste abaixo nos comentários.

Bons estudos!


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