Fatoração de polinômios é uma forma de simplificar polinômios complexos em polinômios mais simples. Como um polinômio consiste na multiplicação entre os coeficientes dos termos, podemos simplificar os termos comuns.
Polinômios são expressões algébricas formados por literais (variáveis) e coeficientes (números).
Fator Comum em Evidência
Podemos fazer a fatoração de polinômios utilizando uma propriedade da multiplicação que é colocar fatores em comuns em evidência.
Exemplo:
- ax + bx = (a + b) . x
A variável x é comum aos dois termos, assim podemos usar da propriedade da multiplicação e colocá-la em evidência sem alterar o resultado.
Agrupamento
O agrupamento é outra forma de fatorar polinômios, consiste em fazer o agrupamento dos termos e variáveis em comum.
Exemplo:
- ax + bx + ay + by = x . (a + b) + y . (a + b) = (x + y) . (a + b)
Temos a multiplicação de termos e variáveis em comum, podemos agrupar as variáveis e os coeficientes em comum, fazendo o produto da soma sem alterar o resultado.
Trinômio Quadrado Perfeito
São polinômios formados por três monômios com termos em comum.
Exemplo:
- a² + 2ab + b² = (a + b)²
Assim, quando temos o primeiro termo ao quadrado, e o segundo é o dobro do produto entre eles e o terceiro também ao quadrado, podemos simplificar reescrevendo como a soma entre os dois termos ao quadrado.
Diferença de Dois Quadrados
Quando temos um polinômio que é o produto de uma soma por uma subtração entre dois termos comuns, podemos reescrevê-los como a diferença entre cada termo ao quadrado.
Exemplo:
- (a + b) . (a – b) = a² – b²
Se você fizer a distributiva, uma das propriedades da multiplicação, vai chegar no resultado após a igualdade. Veja:
- (a + b) . (a – b) = a² – ab + ab – b² = a² – b²
Cubo Perfeito
É um polinômio em que todos os seus termos são múltiplos de 3. Podemos encontrar o cubo perfeito de duas formas: cubo da adição ou cubo da subtração.
Adição:
É quando temos um polinômio com o primeiro termo ao cubo (a³), mais o segundo termo, igual a três vezes o quadrado do primeiro, vezes o segundo termo (3 . a² . b), mais três vezes o primeiro termo, vezes o quadrado do segundo termo (3 . a . b²), mais o cubo do segundo termo (b³).
Assim, podemos reescrevê-lo como o cubo da soma.
Exemplo:
- a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = (a + b)³
Subtração:
É quando temos um polinômio com o primeiro termo ao cubo (a³), menos o segundo termo, igual a três vezes o quadrado do primeiro, vezes o segundo termo (3 . a² . b), mais três vezes o primeiro termo, vezes o quadrado do segundo termo (3 . a . b²), menos o cubo do segundo termo (b³).
Então, podemos reescrevê-lo como o cubo da diferença.
Exemplo:
- a³ – 3a²b + 3ab² – b³ = (a – b)³
Exercícios
Veja os exercícios acessando o link a seguir:
