Bissetriz: Tipos, Construção e Propriedades

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A bissetriz é uma semirreta que inicia no vértice de um ângulo e o divide em dois ângulos com a mesma medida. É usada na geometria para analisar principalmente os triângulo.

Bissetriz

Na matemática, a bissetriz é definida como um lugar geométrico com pontos que equidistam duas retas concorrentes. Consequentemente, isto divide um ângulo em dois ângulos congruentes.

Índice do Artigo

Tipos de Bissetrizes

Podemos classifica-las em dois tipos:

  • Interna: é a semirreta divide um ângulo interno qualquer;
  • Externa: é a semirreta que divide o ângulo suplementar, ou seja, do ângulo externo. O ângulo suplementar é um ângulo que quando somado com o ângulo interno equivale a 180°.

Construção da Bissetriz

Podemos construir uma bissetriz para qualquer ângulo utilizando um compasso com os seguintes passos:

Coloque a ponta do compasso que não possui o grafite no vértice do ângulo;

Construção da bissetriz

Desenhe um arco de forma que este arco corte os segmentos de retas OA e OB que formam o ângulo;

Construção

Coloque a ponta do compasso que não possui o grafite na intersecção em B e trace um novo arco;

Construção da bissetriz

Faça o mesmo em A, trace o mesmo arco do passo 3;

Construção

Agora trace uma semirreta do vértice do ângulo passando pelas intersecções dos arcos que acabamos de fazer;

Exemplo
Construção da bissetriz

A bissetriz é a semirreta OC.

Passo final

Teorema da Bissetriz Interna

O teorema da bissetriz interna diz que ela divide o lado oposto ao ângulo em segmentos proporcionais aos lados adjacentes ao ângulo.

Teorema da Bissetriz Interna

Isto quer dizer que se construirmos uma bissetriz para o triângulo ABC, temos que ela divide o lado BC do triângulo ABC de forma que o segmento AB é proporcional a BD e AC é proporcional a CD. Assim, temos a seguinte proporção:

Teorema

Essa proporção pode ser provada utilizando o Teorema de Tales

Teorema da Bissetriz Externa

O teorema da bissetriz externa diz que a bissetriz do ângulo externo de um triângulo divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes.

Teorema da Externa

Isto quer dizer que se temos um triângulo ABC, a bissetriz do ângulo externo BAC, define a medida do segmento CD. Assim, se traçarmos a bissetriz do ângulo ACB, temos a formação de um ponto E no segmento AB.

A bissetriz de ACB é paralela a bissetriz do ângulo externo BAC. Assim, a esta intercepta a reta suporte CD. Então, o segmento AB é proporcional a BD e AC é proporcional a CD.

Portanto, temos a seguinte proporção:

Teorema da Externa

Essa proporção também pode ser provada utilizando o Teorema de Tales

Propriedades

As bissetrizes possuem as seguintes propriedades:

  • Dois ângulos opostos pelo vértice possuem bissetrizes opostas;
  • Dois ângulos replementares possuem bissetrizes opostas;
  • Dois ângulos suplementares possuem bissetrizes perpendiculares.

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