Progressão Aritmética: Saiba O Que é!

Progressão aritmética (PA) é uma sequência numérica em que o próximo elemento da sequência é o número anterior somando a uma constante r. Este r é chamado de razão da P.A.

 

Para sabermos qual a razão de uma PA basta subtrair um elemento qualquer pelo seu antecessor.

 

Exemplos de progressão aritmética

Considere as seguintes sequências:

  • 1, 2, 3, 4, 5, 6, … é uma P.A.; razão desta P.A. é 1 pois 3 – 2 = 1.
  • 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, … é uma P. A.; razão desta P.A. é 3 pois 7 – 4 = 3

Tipos de progressões aritméticas

Crescente: toda P.A. em que o próximo termo, a partir do segundo, é sempre maior que o antecessor, ou seja, com r > 0.

Exemplo: 1, 3, 5, 7, 9, 11, … é uma P.A. com razão r = 2.

 

Decrescente: toda P.A. em que o próximo termo, a partir do segundo, é sempre menor que o seu antecessor, ou seja, r < 0.

Exemplo: 7, 5, 3, 1, -1, -3, … é uma P.A. com r = -2.

Constante: toda P.A. em que seus termos são iguais, o seja, com r = 0.

Exemplo: 1, 1, 1, 1, 1, … é uma P.A. com r = 0.

 

Termo geral de uma progressão aritmética

Podemos encontrar qualquer termo de uma P.A. ou o total de termos utilizando a seguinte fórmula:

$$a_{n} = a_{1} + (n – 1).r$$

Onde:
an: termo geral
a1: primeiro termo da P.A.
n: número de termos ou o total de termos
r: razão

 

Exemplo:

1) Encontre o 5 termo de uma P.A. sabendo que o primeiro termo a1 = 2 e r = 5.

De acordo com o enunciado: a1 = 2, r = 5, n = 5.

 

Assim,

a5 = 2 + (5 – 1).5
a5 = 2 + 4 x 5
a5 = 2 + 20
a5 = 22

Vamos conferir: 2, 7, 12, 17, 22, … Correto!

 

2) Determine o total de termos da P.A.: 2, 7, 12, 17, 22, …, 57

Pela questão temos que an = 57, a1 = 2 e r = 5.

57 = 2 + (n – 1).5
57 = 2 + (5n – 5) (distributiva da multiplicação)
57 = 2 + 5n – 5 (-5 + 2 = -3)
57 = -3 + 5n (passa o -3 trocando o sinal)
57 + 3 = 5n
60 = 5n (passa dividindo)
n = 60/5
n = 12

Dessa forma, o número de termos dessa P.A. é 12.
Vamos conferir: 2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, 37, 42, 47, 52 e 57

 

2) Determine a razão de uma P.A. sabendo que an = 31, a1 = 10 e n = 8

31 = 10 + (8 – 1).r
31 = 10 + 7r
31 – 10 = 7r
21 = 7r
r = 21/7
r = 3

 

Soma dos termos de uma progressão aritmética finita

A soma de todos os termos de uma progressão aritmética é dada pela fórmula.

$$S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n})n}{2}$$

 

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  • Leonardo Ribeiro

    oi rapaize