PA: Progressão Aritmética

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Progressão aritmética (P.A.) é uma sequência numérica em que o próximo elemento da sequência é o número anterior somando a uma constante r. Este r é chamado de razão da P.A. Para sabermos qual a razão de uma P.A. basta subtrair um elemento qualquer pelo seu antecessor.

Índice do Artigo

Exemplos de progressão aritmética

Considere as seguintes sequências:

  • (1, 2, 3, 4, 5, 6, …) é uma P.A. infinita crescente, razão desta P.A. é 1 pois 3 – 2 = 1.
  • (1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, …) é uma P. A. infinita crescente, razão desta P.A. é 3 pois 7 – 4 = 3.
  • (3, 3, 3, 3, …) é uma P.A. infinita constante, razão desta P.A. é 0 pois 3 – 3 = 0.
  • (10, 5, 0, …) é uma P.A. infinita decrescente, razão desta P.A. é -5 pois 5 – 10 = -5.

Tipos de progressões aritméticas (P.A.)

  • Crescente: É toda P.A. em que o próximo termo, a partir do segundo, é sempre maior que o antecessor, ou seja, com r > 0.

    Exemplo: (1, 3, 5, 7, 9, 11, …) é uma P.A. com razão r = 2.

  • Decrescente: É toda P.A. em que o próximo termo, a partir do segundo, é sempre menor que o seu antecessor, ou seja, r < 0.

    Exemplo: (7, 5, 3, 1, -1, -3, …) é uma P.A. com r = -2.

  • Constante: toda P.A. em que seus termos são iguais, o seja, com r = 0.

    Exemplo: (1, 1, 1, 1, 1, …) é uma P.A. com r = 0.

Termo geral de uma progressão aritmética (P.A)

Podemos encontrar qualquer termo de uma P.A. ou o total de termos da seguinte forma:

Seja a P.A. com razão r a seguir:

  • (a1, a2, a3, …, an-1, an, …)

A partir da P.A. acima sabemos que:

  • a1 = a1
  • a2 = a1 + r
  • a3 = a2 + r
  • a4 = a3 + r
  • a5 = a4 + r
    .
    .
    .
  • an = an-1 + r

Se somarmos as igualdades acima, membro a membro, teremos:

(a1 + a2 + a3 + … + an-1) + (an = a1 + a2 + a3 + … an-1) + r + r + r + … + r ((n – 1) vezes)

Com isso chegaremos a seguinte fórmula após simplificarmos os termos:

  • an = a1 + (n – 1)r

Onde:

  • an: é o termo geral;
  • a1: é o primeiro termo da P.A.;
  • n: é o número de termos ou o total de termos;
  • r: é a razão.

A fórmula acima é conhecida como a fórmula do termo geral da P.A., com ela podemos encontrar qualquer termo em uma P.A., desde que conheçamos a1, n e r.

Exemplo:

  1. Encontre o 5 termo de uma P.A. sabendo que o primeiro termo a1 = 2 e r = 5.

    De acordo com o enunciado: a1 = 2, r = 5, n = 5.

    Assim, substituindo na fórmula do termo geral, temos que:

    a5 = 2 + (5 – 1).5

    a5 = 2 + 4 x 5

    a5 = 2 + 20

    a5 = 22

    Vamos conferir: (2, 7, 12, 17, 22, …) Correto!

  2. Determine o total de termos da P.A.: (2, 7, 12, 17, 22, …, 57)

    Pela questão temos que an = 57, a1 = 2 e r = 5. Então, substituindo na fórmula do termo geral, temos que:

    57 = 2 + (n – 1).5

    57 = 2 + (5n – 5) (distributiva da multiplicação)

    57 = 2 + 5n – 5 (-5 + 2 = -3)

    57 = -3 + 5n (passa o -3 trocando o sinal)

    57 + 3 = 5n

    60 = 5n (passa dividindo)

    n = 605

    n = 12

    Dessa forma, o número de termos dessa P.A. é 12.

    Vamos conferir: 2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, 37, 42, 47, 52 e 57

  3. Determine a razão de uma P.A. sabendo que an = 31, a1 = 10 e n = 8

    31 = 10 + (8 – 1).r

    31 = 10 + 7r

    31 – 10 = 7r

    21 = 7r

    r = 217

    r = 3

    Portanto, a razão para a P.A. da questão é r = 3

Soma dos termos de uma progressão aritmética finita

A soma de todos os termos de uma progressão aritmética é dada pela fórmula:

Soma dos termos de uma progressão aritmética finita
Fórmula para calcular a soma dos termos de uma progressão aritmética finita

Exemplo:

Calcule a soma dos 20 primeiros termos da P.A. (1, 5, 9, 13, 17, 21, …)

Primeiramente precisamos saber qual é o termo a20:

an = a1 + (n – 1)r ⇒ a20 = 1 + (20 – 1).4 ⇒ a20 = 1 + 76 ⇒ a20 = 77

Assim, podemos calcular a soma dos 20 primeiros termos, então:

Progressão aritmética (PA) finita

Propriedade da Progressão Aritmética (P.A.)

  • Cada termo, a partir do segundo, é uma média aritmética dos termos sucessor e antecessor. Assim, considerando uma P.A (a, b, c, d, …), então: b = (a + c)/2

Bons estudos!

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