PA: Progressão Aritmética

> PA: Progressão Aritmética

Progressão aritmética (P.A.) é uma sequência numérica em que o próximo elemento da sequência é o número anterior somando a uma constante r. Este r é chamado de razão da P.A. Para sabermos qual a razão de uma P.A. basta subtrair um elemento qualquer pelo seu antecessor.

Exemplos de progressão aritmética

Considere as seguintes sequências:

  • (1, 2, 3, 4, 5, 6, …) é uma P.A. infinita crescente, razão desta P.A. é 1 pois 3 – 2 = 1.
  • (1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, …) é uma P. A. infinita crescente, razão desta P.A. é 3 pois 7 – 4 = 3.
  • (3, 3, 3, 3, …) é uma P.A. infinita constante, razão desta P.A. é 0 pois 3 - 3 = 0.
  • (10, 5, 0, …) é uma P.A. infinita decrescente, razão desta P.A. é -5 pois 5 - 10 = -5.

Tipos de progressões aritméticas (P.A.)

  • Crescente: É toda P.A. em que o próximo termo, a partir do segundo, é sempre maior que o antecessor, ou seja, com r > 0.

    Exemplo: (1, 3, 5, 7, 9, 11, …) é uma P.A. com razão r = 2.

  • Decrescente: É toda P.A. em que o próximo termo, a partir do segundo, é sempre menor que o seu antecessor, ou seja, r < 0.

    Exemplo: (7, 5, 3, 1, -1, -3, …) é uma P.A. com r = -2.

  • Constante: toda P.A. em que seus termos são iguais, o seja, com r = 0.

    Exemplo: (1, 1, 1, 1, 1, …) é uma P.A. com r = 0.

Termo geral de uma progressão aritmética (P.A)

Podemos encontrar qualquer termo de uma P.A. ou o total de termos da seguinte forma:

Seja a P.A. com razão r a seguir:

  • (a1, a2, a3, …, an-1, an, …)

A partir da P.A. acima sabemos que:

  • a1 = a1
  • a2 = a1 + r
  • a3 = a2 + r
  • a4 = a3 + r
  • a5 = a4 + r . . .
  • an = an-1 + r

Se somarmos as igualdades acima, membro a membro, teremos:

(a1 + a2 + a3 + … + an-1) + (an = a1 + a2 + a3 + … an-1) + r + r + r + … + r ((n - 1) vezes)

Com isso chegaremos a seguinte fórmula após simplificarmos os termos:

  • an = a1 + (n - 1)r

Onde:

  • an: é o termo geral;

  • a1: é o primeiro termo da P.A.;

  • n: é o número de termos ou o total de termos;

  • r: é a razão.

A fórmula acima é conhecida como a fórmula do termo geral da P.A., com ela podemos encontrar qualquer termo em uma P.A., desde que conheçamos a1, n e r.

Exemplo:

  1. Encontre o 5 termo de uma P.A. sabendo que o primeiro termo a1 = 2 e r = 5.

    De acordo com o enunciado: a1 = 2, r = 5, n = 5.

    Assim, substituindo na fórmula do termo geral, temos que:

    a5 = 2 + (5 – 1).5

    a5 = 2 + 4 x 5

    a5 = 2 + 20

    a5 = 22

    Vamos conferir: (2, 7, 12, 17, 22, …) Correto!

  2. Determine o total de termos da P.A.: (2, 7, 12, 17, 22, …, 57)

    Pela questão temos que an = 57, a1 = 2 e r = 5. Então, substituindo na fórmula do termo geral, temos que:

    57 = 2 + (n – 1).5

    57 = 2 + (5n – 5) (distributiva da multiplicação)

    57 = 2 + 5n – 5 (-5 + 2 = -3)

    57 = -3 + 5n (passa o -3 trocando o sinal)

    57 + 3 = 5n

    60 = 5n (passa dividindo)

    n = 605

    n = 12

    Dessa forma, o número de termos dessa P.A. é 12.

    Vamos conferir: 2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, 37, 42, 47, 52 e 57

  3. Determine a razão de uma P.A. sabendo que an = 31, a1 = 10 e n = 8

    31 = 10 + (8 – 1).r

    31 = 10 + 7r

    31 – 10 = 7r

    21 = 7r

    r = 217

    r = 3

    Portanto, a razão para a P.A. da questão é r = 3

Soma dos termos de uma progressão aritmética finita

A soma de todos os termos de uma progressão aritmética é dada pela fórmula:

Soma dos termos de uma P.A.

Exemplo:

Calcule a soma dos 20 primeiros termos da P.A. (1, 5, 9, 13, 17, 21, …)

Primeiramente precisamos saber qual é o termo a20:

an = a1 + (n - 1)r ⇒ a20 = 1 + (20 - 1).4 ⇒ a20 = 1 + 76 ⇒ a20 = 77

Assim, podemos calcular a soma dos 20 primeiros termos, então:

Soma dos termos de uma P.A.

Propriedade da Progressão Aritmética (P.A.)

  • Cada termo, a partir do segundo, é uma média aritmética dos termos sucessor e antecessor. Assim, considerando uma P.A (a, b, c, d, …), então: b = (a + c)/2

Curta, favorite e compartilhe! 😉

Bons estudos! 😄

Veja mais…

Progressão Geométrica

Tabuada

Razão e Proporção






Autor

Jean Carlos Novaes by

Formado em Ciência da Computação na UFBA. Depois de ficar sete anos tentando cursar uma universidade, conseguiu entrar na UFBA prestando um dos mais concorridos vestibulares do país.
LinkedIn


Veja também



comments powered by Disqus