PG: Progressão Geométrica

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P.G. ou progressão geométrica é uma sequência numérica onde os termos a partir do segundo são obtidos multiplicados por uma constante q que chamamos de razão. Para encontrarmos a razão de uma P.G. basta dividirmos um número pelo seu antecessor.

Índice do Artigo

Exemplos de progressão geométrica – P.G.

Considere as seguintes sequências geométricas:

  • (1, 2, 4, 8, 16, …) é uma P.G. crescente, com razão q = 2.
  • (5, 25, 125, 625, …) é uma P.G. crescente, com razão q = 5.
  • (40, 20, 10, 5, 52, …) é uma P.G. decrescente, com razão q = 12.
  • (2, -4, 8, -16, 32, …) é uma P.G. oscilante, com razão q = -2.

Tipos de P.G.

  • Crescente: onde cada termo da P.G. é maior que seu antecessor.

    Exemplo:

    • (1, 3, 9, 27, …) com q = 3
    • (-2, -1, –12, –14, …) com q = 12
  • Decrescente: onde cada termo da P.G. é menor que seu antecessor.

    Exemplo:

    • (-1, -4, -16, -64, …) com q = 4
    • (2, 1, 12, 14, 18, …) com q = 12
  • Constante: quando o próximo termo, a partir do segundo, é uma sequencia de números iguais, isso acontece quando q = 1.

    Exemplo:

    • (2, 2, 2, 2, 2, …) com q = 1
  • Oscilante: quando o próximo termo, a partir do segundo, é um número negativo. Isto acontece quando a razão é negativa, ou seja, q < 0.

    Exemplo:

    • (2, -4, 8, -16, 32, -64, …) com q = -2

Termo geral de uma P.G.

Podemos encontrar qualquer termo geral de uma P.G. ou o total de termos da seguinte forma:

Seja a P.G. com razão q a seguir:

  • (a1, a2, a3, …, an, …)

A partir da P.G. acima sabemos que:

  • a2 = a1 . q
  • a3 = a2 . q
  • a4 = a3 . q
  • a5 = a4 . q
  • an = an-1 . q

Se multiplicarmos as igualdades acima, membro a membro, teremos:

(a2 . a3 . a3 . … . an-1) . an = a1 . (a2 . a3 . … an-1) . q . q . q . … + q ((n – 1) vezes)

Após simplificarmos os termos, chegamos a fórmula:

  • an = a1 . q(n – 1)

Onde:

  • an: é o termo geral da P.G.;

  • a1: é o primeiro termo da P.G.;

  • n: é o número de termos ou o total de termos da P.G.;

  • q: é a razão da P.G..

Exemplo:

  1. Determine o 5º (quinto) termo de uma P.G. sabendo que a1 = 3 e q = 4.

    Para isso vamos utilizar a fórmula geral. Veja!

    De acordo com o enunciado temos que: a1 = 3, q = 4 e n = 5

    Assim:

    a5 = 3 x 4(5 – 1)

    a5 = 3 x 44

    a5 = 3 x 256

    a5 = 768

    Vamos conferir: 3, 12, 48, 192, 768, … Correto!

Soma dos n termos de uma P.G. finita

Podemos encontrar a soma dos n os termos de uma progressão geométrica a partir da fórmula geral.

Soma dos n termos de uma P.G. finita
Fórmula para a soma dos n termos de uma P.G. finita

Exemplo:

Considere a P.G.: (2, 6, 18, …), calcule os 5 primeiros termos.

Temos que a1 = 2, q = 3 e n = 5

Logo,

Soma dos n termos de uma P.G. finita
Soma do 5º termo de uma P.G. finita

Soma dos infinitos termos de uma P.G.

É possível somar os termos de uma P.G. infinita. Podemos fazer isso quando os termos de uma P.G. acabe convergindo para o valor 1. Isso ocorre quando a razão q for um número entre -1 e 1.

Logo, quando n tende ao infinito, temos a seguinte fórmula para a soma dos infinitos termos:

Soma dos infinitos termos de uma P.G.
Fórmula para a soma dos infinitos termos de uma P.G.

Exemplo:

Calcule o valor para x = 1 + 13 + 19 + …

O valor de x é a soma dos infinitos termos da P.G.: (1 + 13 + 19 + …)

Assim:

a1 = 1 e q = 13

Soma dos infinitos termos de uma P.G.
Soma dos infinitos termos de uma P.G.

Produto dos n termos de uma P.G.

Também é possível fazer o produto dos n termos de uma P.G., para isso a seguinte fórmula pode ser usada:

Produto dos n termos de uma P.G.
Fórmula para o produto dos n termos de uma P.G.

Onde:

  • Pn: é o produto dos n termos de uma P.G.
  • n: é o número total de termos da P.G..
  • a1: é o primeiro termo da P.G.

Propriedade da P.G.

  • Cada termo de uma P.G., a partir do segundo, é a média geométrica entre o sucessor e antecessor. Então, seja a P.G (a, b, c, …), temos que: b² = a.c

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