PG: Progressão Geométrica

PG ou progressão geométrica é uma sequência numérica onde os termos a partir do segundo são obtidos multiplicados por uma constante q que chamamos de razão.

Para encontrarmos a razão de uma PG basta dividirmos um número pelo seu antecessor.

Índice do Artigo

Exemplos de progressão geométrica

Considere as seguintes sequências geométricas:

Tipos de progressão geométrica

Termo geral de uma PG

Podemos encontrar qualquer termo geral de uma PG ou o total de termos da seguinte forma:

Seja a PG com razão q a seguir:

A partir da sequência acima sabemos que:

Se multiplicarmos as igualdades acima, membro a membro, teremos:

(a2 . a3 . a3 . … . an-1) . an = a1 . (a2 . a3 . … an-1) . q . q . q . … + q ((n – 1) vezes)

Após simplificarmos os termos, chegamos a fórmula:

Onde:

Exemplo:

  1. Determine o 5º (quinto) termo de uma PG sabendo que a1 = 3 e q = 4.

    Para isso vamos utilizar a fórmula geral. Veja!

    De acordo com o enunciado temos que: a1 = 3, q = 4 e n = 5

    Assim:

    a5 = 3 x 4(5 – 1)

    a5 = 3 x 44

    a5 = 3 x 256

    a5 = 768

    Vamos conferir: 3, 12, 48, 192, 768, … Correto!

Soma dos n termos de uma PG finita

Podemos encontrar a soma dos n os termos de uma progressão geométrica a partir da fórmula geral.

Soma dos n termos de uma PG: progressão geométrica finita

Exemplo:

Considere a PG: (2, 6, 18, …), calcule os 5 primeiros termos.

Temos que a1 = 2, q = 3 e n = 5

Logo,

Soma dos n termos de uma PG: progressão geométrica finita

Soma dos infinitos termos de uma PG

É possível somar os termos de uma progressão geométrica infinita. Podemos fazer isso quando os termos de uma PG acabe convergindo para o valor 1. Isso ocorre quando a razão q for um número entre -1 e 1.

Logo, quando n tende ao infinito, temos a seguinte fórmula para a soma dos infinitos termos:

Soma dos infinitos termos de uma P.G.

Exemplo:

Calcule o valor para x = 1 + 13 + 19 + …

O valor de x é a soma dos infinitos termos da PG: (1 + 13 + 19 + …)

Assim:

a1 = 1 e q = 13

Soma dos infinitos termos de uma P.G.

Produto dos n termos de uma PG

Também é possível fazer o produto dos n termos de uma PG, para isso a seguinte fórmula pode ser usada:

Produto dos n termos de uma P.G.

Onde:

Propriedade

Veja mais…

Progressão Aritmética

Tabuada

Razão e Proporção

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Authorby Jean Carlos Novaes