PG: Progressão Geométrica

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P.G. ou progressão geométrica é uma sequência numérica onde os termos a partir do segundo são obtidos multiplicados por uma constante q que chamamos de razão. Para encontrarmos a razão de uma P.G. basta dividirmos um número pelo seu antecessor.

Exemplos de progressão geométrica – P.G.

Considere as seguintes sequências geométricas:

  • (1, 2, 4, 8, 16, …) é uma P.G. crescente, com razão q = 2.
  • (5, 25, 125, 625, …) é uma P.G. crescente, com razão q = 5.
  • (40, 20, 10, 5, 52, …) é uma P.G. decrescente, com razão q = 12.
  • (2, -4, 8, -16, 32, …) é uma P.G. oscilante, com razão q = -2.

Tipos de P.G.

  • Crescente: onde cada termo da P.G. é maior que seu antecessor.

    Exemplo:

    • (1, 3, 9, 27, …) com q = 3
    • (-2, -1, -12, -14, …) com q = 12
  • Decrescente: onde cada termo da P.G. é menor que seu antecessor.

    Exemplo:

    • (-1, -4, -16, -64, …) com q = 4
    • (2, 1, 12, 14, 18, …) com q = 12
  • Constante: quando o próximo termo, a partir do segundo, é uma sequencia de números iguais, isso acontece quando q = 1.

    Exemplo:

    • (2, 2, 2, 2, 2, …) com q = 1
  • Oscilante: quando o próximo termo, a partir do segundo, é um número negativo. Isto acontece quando a razão é negativa, ou seja, q < 0.

    Exemplo:

    • (2, -4, 8, -16, 32, -64, …) com q = -2

Termo geral de uma P.G.

Podemos encontrar qualquer termo geral de uma P.G. ou o total de termos da seguinte forma:

Seja a P.G. com razão q a seguir:

  • (a1, a2, a3, …, an, …)

A partir da P.G. acima sabemos que:

  • a2 = a1 . q
  • a3 = a2 . q
  • a4 = a3 . q
  • a5 = a4 . q
  • an = an-1 . q

Se multiplicarmos as igualdades acima, membro a membro, teremos:

(a2 . a3 . a3 . … . an-1) . an = a1 . (a2 . a3 . … an-1) . q . q . q . … + q ((n - 1) vezes)

Após simplificarmos os termos, chegamos a fórmula:

  • an = a1 + q(n - 1)

Onde:

  • an: é o termo geral da P.G.;

  • a1: é o primeiro termo da P.G.;

  • n: é o número de termos ou o total de termos da P.G.;

  • q: é a razão da P.G..

Exemplo:

  1. Determine o 5º (quinto) termo de uma P.G. sabendo que a1 = 3 e q = 4.

    Para isso vamos utilizar a fórmula geral. Veja!

    De acordo com o enunciado temos que: a1 = 3, q = 4 e n = 5

    Assim:

    a5 = 3 x 4(5 – 1)

    a5 = 3 x 44

    a5 = 3 x 256

    a5 = 768

    Vamos conferir: 3, 12, 48, 192, 768, … Correto!

Soma dos n termos de uma P.G. finita

Podemos encontrar a soma dos n os termos de uma progressão geométrica a partir da fórmula geral.

Soma dos n termos de uma P.G. finita

Exemplo:

Considere a P.G.: (2, 6, 18, …), calcule os 5 primeiros termos.

Temos que a1 = 2, q = 3 e n = 5

Logo,

Soma dos n termos de uma P.G. finita

Soma dos infinitos termos de uma P.G.

É possível somar os termos de uma P.G. infinita. Podemos fazer isso quando os termos de uma P.G. acabe convergindo para o valor 1. Isso ocorre quando a razão q for um número entre -1 e 1.

Logo, quando n tende ao infinito, temos a seguinte fórmula para a soma dos infinitos termos:

Soma dos infinitos termos de uma P.G.

Exemplo:

Calcule o valor para x = 1 + 13 + 19 + …

O valor de x é a soma dos infinitos termos da P.G.: (1 + 13 + 19 + …)

Assim:

a1 = 1 e q = 13

Soma dos infinitos termos de uma P.G.

Produto dos n termos de uma P.G.

Também é possível fazer o produto dos n termos de uma P.G., para isso a seguinte fórmula pode ser usada:

Produto dos n termos de uma P.G.

Onde:

  • Pn: é o produto dos n termos de uma P.G.
  • n: é o número total de termos da P.G..
  • a1: é o primeiro termo da P.G.

Propriedade da P.G.

  • Cada termo de uma P.G., a partir do segundo, é a média geométrica entre o sucessor e antecessor. Então, seja a P.G (a, b, c, …), temos que: b² = a.c

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Bons estudos 😄

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Razão e Proporção






Autor

Jean Carlos Novaes by

Formado em Ciência da Computação na UFBA. Depois de ficar sete anos tentando cursar uma universidade, conseguiu entrar na UFBA prestando um dos mais concorridos vestibulares do país.
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