Progressão aritmética (P.A.) é uma sequência numérica em que o próximo elemento da sequência é o número anterior somando a uma constante r.
Este r é chamado de razão da P.A. Para sabermos qual a razão de uma P.A. basta subtrair um elemento qualquer pelo seu antecessor.
Exemplos de progressão aritmética
Considere as seguintes sequências:
- (1, 2, 3, 4, 5, 6, …) é uma P.A. infinita crescente, razão desta P.A. é 1 pois 3 – 2 = 1.
- (1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, …) é uma P. A. infinita crescente, razão desta P.A. é 3 pois 7 – 4 = 3.
- (3, 3, 3, 3, …) é uma P.A. infinita constante, razão desta P.A. é 0 pois 3 – 3 = 0.
- (10, 5, 0, …) é uma P.A. infinita decrescente, razão desta P.A. é -5 pois 5 – 10 = -5.
Tipos de progressões aritméticas (P.A.)
- Crescente: É toda P.A. em que o próximo termo, a partir do segundo, é sempre maior que o antecessor, ou seja, com r > 0.
Exemplo: (1, 3, 5, 7, 9, 11, …) é uma P.A. com razão r = 2.
- Decrescente: É toda P.A. em que o próximo termo, a partir do segundo, é sempre menor que o seu antecessor, ou seja, r < 0.
Exemplo: (7, 5, 3, 1, -1, -3, …) é uma P.A. com r = -2.
- Constante: toda P.A. em que seus termos são iguais, o seja, com r = 0.
Exemplo: (1, 1, 1, 1, 1, …) é uma P.A. com r = 0.
Termo geral de uma progressão aritmética (P.A)
Podemos encontrar qualquer termo de uma P.A. ou o total de termos da seguinte forma:
Seja a P.A. com razão r a seguir:
- (a1, a2, a3, …, an-1, an, …)
A partir da P.A. acima, sabemos que:
- a1 = a1
- a2 = a1 + r
- a3 = a2 + r
- a4 = a3 + r
- a5 = a4 + r
.
.
. - an = an-1 + r
Se somarmos as igualdades acima, membro a membro, teremos:
(a1 + a2 + a3 + … + an-1) + (an = a1 + a2 + a3 + … an-1) + r + r + r + … + r ((n – 1) vezes)
Com isso chegaremos a seguinte fórmula, após simplificarmos os termos:
- an = a1 + (n – 1)r
Onde:
- an: é o termo geral;
- a1: é o primeiro termo da P.A.;
- n: é o número de termos ou o total de termos;
- r: é a razão.
A fórmula acima é conhecida como a fórmula do termo geral da P.A., com ela podemos encontrar qualquer termo em uma P.A., desde que conheçamos a1, n e r.
Exemplo:
1. Encontre o 5 termo de uma P.A. sabendo que o primeiro termo a1 = 2 e r = 5.
Segundo o enunciado: a1 = 2, r = 5, n = 5.
Assim, substituindo na fórmula do termo geral, temos que:
- a5 = 2 + (5 – 1) x 5
- a5 = 2 + 4 x 5
- a5 = 2 + 20
- a5 = 22
Vamos conferir: (2, 7, 12, 17, 22, …). Correto!
2. Determine o total de termos da P.A.: (2, 7, 12, 17, 22, …, 57):
Pela questão temos que an = 57, a1 = 2 e r = 5. Então, substituindo na fórmula do termo geral, temos que:
- 57 = 2 + (n – 1) x 5
- 57 = 2 + (5n – 5) (distributiva da multiplicação)
- 57 = 2 + 5n – 5 (-5 + 2 = -3)
- 57 = -3 + 5n (passa o -3 trocando o sinal)
- 57 + 3 = 5n
- 60 = 5n (passa dividindo)
- n = 60⁄5
- n = 12
Dessa forma, o número de termos dessa P.A. é 12.
3. Determine a razão de uma P.A. sabendo que an = 31, a1 = 10 e n = 8
- 31 = 10 + (8 – 1)r
- 31 = 10 + 7r
- 31 – 10 = 7r
- 21 = 7r
- r = 21⁄7
- r = 3
Portanto, a razão para a P.A. da questão é r = 3
Soma dos termos de uma progressão aritmética finita
A soma de todos os termos de uma progressão aritmética é dada pela fórmula:
Exemplo:
Calcule a soma dos 20 primeiros termos da P.A. (1, 5, 9, 13, 17, 21, …)
Primeiramente precisamos saber qual é o termo a20:
an = a1 + (n – 1)r ⇒ a20 = 1 + (20 – 1).4 ⇒ a20 = 1 + 76 ⇒ a20 = 77
Assim, podemos calcular a soma dos 20 primeiros termos, então:
Propriedade da Progressão Aritmética (P.A.)
- Cada termo, a partir do segundo, é uma média aritmética dos termos sucessor e antecessor. Assim, considerando uma P.A (a, b, c, d, …), então: b = (a + c)/2
Exercícios
Veja os exercícios que preparamos no link abaixo:
Bons estudos!
Veja mais…
