A função exponencial é uma função em que um número constante maior que 0 (zero) e diferente de 1 (um), é elevado ao expoente que é uma variável.
A função exponencial não pode ter na base o valor 1 (um), pois assim ela não seria exponencial, e sim, constante. Além disso, a base não pode ser negativa e nem zero, pois não é possível, nestes casos, definir a função.
É uma função que cresce muito rápido, por esse motivo é que, frequentemente, usamos a expressão: “cresceu exponencialmente”. Assim, é muito difícil calcular funções desses tipos, então precisamos do auxílio de calculadoras.
O valor do expoente equivale a quantas vezes a base é multiplicada.
Exemplo:
- 2² = 2 . 2 = 4
- 3³ = 3 . 3 . 3 = 27
- 56 = 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 = 15625
As funções exponenciais usam a mesma ideia, porém a base é fixa e o expoente é variável.
Exemplo:
Seja a função f(x) = 2x, calcule f(2), f(5) e f(10):
- f(2) = 22 = 4;
- f(5) = 25 = 32;
- f(10) = 210 = 1024.
Quanto mais o expoente aumenta, mais difícil o cálculo.
Definição
A função exponencial é a função f : R → R*+, definida como f(x) = ax, com 0 < a ≠ 1.
Ou seja, a função possui domínio em R e imagem em R*+ que o conjunto dos números reais positivos e sem o zero.
Gráfico da Função Exponencial
Podemos entender o gráfico de uma função do tipo exponencial aplicando valores ao expoente dela.
Lembrando que as funções exponenciais podem ser classificadas em crescente e decrescente. Para cada um desse tipo de função, o comportamento do gráfico muda. Vamos analisar com um exemplo a seguir.
Gráfico Crescente
Seja a função f(x) = 2x, esboce o gráfico para a função.
Resolução:
Para entender melhor, vamos construir uma tabela com os valores que vamos atribuir a variável x da função.
| x | f(x) = 2x |
|---|---|
| -2 | 1⁄4 |
| -1 | 1⁄2 |
| 0 | 1 |
| 1 | 2 |
| 2 | 4 |
A função f(x) = 2x tem base maior que 1 (um), é uma função crescente e contínua em R. Então, temos o seguinte gráfico:
Gráfico Decrescente
Seja a função f(x) = (1⁄2)x, esboce o gráfico para a função.
Resolução:
Vamos atribuir valores a variável x e ver o comportamento que a função terá. Veja na seguinte tabela os valores:
| x | f(x) = (1⁄2)x |
|---|---|
| -2 | 4 |
| -1 | 2 |
| 0 | 1 |
| 1 | 1⁄2 |
| 2 | 1⁄4 |
Com esses valores em mãos vamos esboçar o gráfico para a função acima:
A função f(x) = (1⁄2)x tem base a com 0 < a < 1 e, portanto, é uma função estritamente decrescente e contínua em R.
Resumindo, podemos afirmar que a função exponencial é:
- Injetora e Sobrejetora;
- Estritamente crescente se a > 1;
- Estritamente decrescente se 0 < a < 1.
Exercícios
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