Sequência Numérica, Com Exercícios

Sequência numérica é uma sucessão finita ou infinita de números obedecendo uma determinada ordem definida antecipadamente.

Uma sequência numérica na matemática deve ser representada entre parênteses e ordenada. Veja como são representadas nos exemplos abaixo:

• (1, 2, 3, 4, 5, 6, …): sequência dos números naturais;
• (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, …): sequência dos números primos positivos;
• (1, 3, 5, 7, 9, …): sequência dos números ímpares positivos.

Classificação das Sequências Numéricas

Podemos classificar as sequências numéricas em infinitas e finitas:

Sequência Infinita: uma sequência infinita é representada da seguinte forma: (a₁, a₂, a₃, a₄, … , a_n, …)

• (2, 4, 6, 8, 10, …): sequência dos números pares positivos;

• (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …): sequência dos números naturais;

As sequências infinitas são representadas com uma reticências no final. Os elementos são indicados pela letra a. Então, o elemento a₁, equivale ao primeiro elemento, a₂, ao segundo elemento e assim por diante.

Sequência finita: uma sequência finita é representada da seguinte forma: (a₁, a₂, a₃, a₄, … , a_n)

Exemplo:

• (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9): sequência dos algarismos do sistema decimal de numeração;

Nas sequências finitas podemos indicar o elemento a_n da sequência, pois se trata de uma sequência finita e sabemos exatamente a quantidade de elementos da sequência. Na sequência acima, n = 10, portanto, a_n é a₁₀ = 9.

Então:

a₁ = 0;

a₂ = 1;

a₃ = 2;

a₄ = 3;

a₅ = 4;

a₆ = 5;

a₇ = 6;

a₈ = 7;

a₉ = 8;

a₁₀ = 9;

Igualdade de Sequências Numéricas

Duas sequências são consideradas iguais se apresentarem os mesmos termos e na mesma ordem.

Exemplo:

Considerem as seguintes sequências:

• (a, b, c, d, e)
• (2, 7, 9, 10, 20)

Às duas sequências acima poderão ser consideras iguais se, e somente se, a = 2, b = 7, c = 9, d = 10 e e = 20.

Considerem as seguintes sequências:

• (1, 2, 3, 4, 5)
• (5, 4, 3, 2, 1)

As sequências acima não são iguais, mesmo apresentando os mesmos números, elas possuem ordens diferentes.

Fórmula do Termo Geral

Cada sequência numérica possui sua lei de formação. A sequência (1, 7, 17, 31, …) possui a seguinte lei de formação:

a_n = 2n² – 1, n ∈ N*

Essa fórmula é usada para encontrar qualquer termo da sequência. Por exemplo, o termo a₄ = 2 . 4² – 1 = 31

Exemplo:

1. a₁ = 2 . 1² – 1 = 1;
2. a₂ = 2 . 2² – 1 = 7;
3. a₃ = 2 . 3² – 1 = 17;
4. a₄ = 2 . 4² – 1 = 31;
5. E assim por diante.

Lei de Recorrência

A lei de recorrência de uma sequência numérica permite calcularmos cada termos conhecendo o seu antecedente:

Exemplo:

Considere a seguinte fórmula de recorrência a_{n + 1} = a_n – 1 para a sequência (10, 9, 8, 7, 6, …), sendo que o termo a₁ = 10. Determine os 5 primeiros termos.

1. a₂ = 10 – 1 = 9;
2. a₃ = 9 – 1 = 8;
3. a₄ = 8 – 1 = 7
4. a₅ = 7 – 1 = 6

Cada sequência numérica possui sua lei de recorrência.

Progressões Aritméticas e Geométricas

As progressões geométricas e aritméticas são sequências numéricas bem conhecidas na matemática.

A progressão aritmética (PA) é um tipo de sequência em que cada termo, começando a partir do segundo, é o termo anterior somado a uma constante r, a qual é chamada de razão da PA.

Uma PA é definida pela seguinte expressão:

• a_{n + 1} = a_n + r

Exemplo:

• (1, 2, 4, 6, 8, 10, …): PA com primeiro termo a₁ = 0 e razão r = 2.

A progressão geométrica (PG) é um tipo de sequência em que cada termo, começando a partir do segundo, é determinado pela multiplicação por uma constante r, a qual é chamada de razão da PG.

Uma PG é definida pela seguinte expressão:

• a_n = a₁ . q^{(n – 1)}

Exemplo:

• (1, 2, 4, 8, 16, 32, …): é uma PG em que o primeiro termo a₁ = 0 e razão r = 2.

Exercícios

Veja os exercícios no link a seguir:

• Exercícios de sequência numérica