Racionalização de Denominadores

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Racionalização de denominadores é uma técnica para tornar frações com denominadores irracionais em racionais.

As frações cujo denominador é uma raiz pode ser transformada em uma fração com denominador que não seja uma raiz, sem alterar seu resultado.

Utilizamos a técnica de racionalização de denominadores para facilitar o cálculo, pois trabalhar com números irracionais é um pouco complicado. Além disso, números irracionais apresentam pouca precisam no resultado final.

Multiplicaremos o numerador e denominador pelo mesmo número com a finalidade de eliminar a raiz do denominador. Esse processo transformará uma fração com denominador irracional em uma fração equivalente.

Índice do Artigo

Racionalizando denominadores de uma fração

Para racionalizar denominadores precisamos eliminar o denominador irracional, faremos isso conhecendo alguns métodos do mais simples para os mais complexos.

Racionalização de Denominadores com uma Raiz Quadrada

Racionalizar uma fração com raiz quadrada no denominador é o caso mais simples.

Exemplo:

Considere a seguinte fração:

Racionalização de Denominadores de uma Raiz Quadrada

Racionalizar frações com denominadores que são raízes quadradas é só multiplicar toda a fração pela mesma raiz quadrada do denominador da fração. Assim:

Racionalização de Denominadores de uma Raiz Quadrada

Nesse caso, dizemos que √2 é o fator racionalizante da fração.

De acordo com a propriedade de radiciação, eliminamos a raiz quadrada multiplicando a raiz por ela mesma, pois √2 . √2 = 2.

Exemplo:

Considere a seguinte fração:

Racionalização de Denominadores de uma Raiz Quadrada

Da mesma forma, racionalizá-la é multiplicar todo a fração por √10, assim:

Racionalização de Denominadores de uma Raiz Quadrada

Bom, como você já viu, caro leitor, racionalizar frações com raiz quadrada é extremamente simples. Vamos agora ver quando a fração não possui um denominador com uma raiz quadrada.

Racionalização de Denominadores com uma Raiz não Quadrada

Para as frações cujo denominadores não são raízes quadradas, isto é, quando o índice não é 2, temos que seguir a seguinte regra:

Quando multiplicarmos uma fração com denominador:

Racionalização de Denominadores com uma Raiz não Quadrada

Devemos multiplicar o numerador e denominador da fração por:

Racionalização de Denominadores com uma Raiz não Quadrada

pois,

Racionalização de Denominadores com uma Raiz não Quadrada

Exemplo:

Considere a seguinte fração:

Racionalização de Denominadores com uma Raiz não Quadrada

Onde:

  • n = 5;
  • p = 2.

Nessa passo é importante saber as propriedades de radiciação.

Quando temos uma fração com denominador com uma soma ou subtração, o fator racionalizante é o seguinte:

  • √a – √b o fator racionalizante é √a + √b;
  • √a + √b o fator racionalizante é √a – √b;
  • √a + b o fator racionalizante é √a – b;
  • √a – b o fator racionalizante é √a + b;
  • a + √b o fator racionalizante é a – √b;
  • a – √b o fator racionalizante é a + √b;

Ou seja, quando temos uma soma ou subtração no denominador, o fator racionalizante é o mesmo denominador com a operação inversa. Se for uma soma trocamos o sinal para a subtração e vice-versa.

Exemplo:

Considere a seguinte fração:

Racionalização de Denominadores com uma Raiz não Quadrada

Racionalizar o denominador dessa fração é multiplicar o numerador e denominador por √3 – 2, assim:

Racionalização de Denominadores com uma Raiz não Quadrada

Quando tivermos uma fração cujo denominador é uma soma ou subtração, sendo um dos dois uma raiz cúbica, devemos multiplicar o numerador e denominador por:

  • Se for uma soma: a² – ab + b²;
  • Se for uma subtração: a² + ab + b².

Exemplo:

Considere a fração a seguir:

Racionalização de Denominadores com uma Raiz não Quadrada

Vamos racionalizá-la seguindo as regras acima, assim:

Racionalização de Denominadores com uma Raiz não Quadrada

Veja como multiplicamos o denominador fazendo a distributiva:

Racionalização de Denominadores com uma Raiz não Quadrada

Lembrando que 8 = 2³.

Lembrete:

  • a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²);
  • a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²).

Bons estudos!


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