Raciocínio lógico é o estudo no sentido de determinar condições necessárias para definir determinadas proposições, estruturando um raciocínio, de modo a chegar a uma conclusão a partir delas.
Conceitos Básicos do Raciocínio Lógico
De modo a estruturar um raciocínio lógico temos que conhecer alguns conceitos básicos essenciais para o estudo da lógica e, consequentemente, para aplicar o raciocínio lógico em questões de concursos.
Proposições
Chamamos proposições uma declaração que representa um sentido completo, que pode ser verdadeira ou falsa.
Exemplo:
- 2 > 1: é uma proposição com valor lógico verdadeiro;
- 2 = 0: é uma proposição com valor lógico falso.
A lógica matemática classifica as proposições baseado em dois princípios:
Princípio da Não-Contradição
“Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa em simultâneo”.
Princípio do Terceiro Excluído
“Toda proposição ou é falsa, ou é verdadeira, não há uma terceira opção”.
Valores Lógicos das Proposições
As proposições só podem ser verdadeiras ou falsas, considerando os princípios acima.
São proposições:
- “O Brasil é um grande país”. É uma proposição verdadeira;
- “Cinco mais três é igual a dez”. É uma proposição falsa;
- “O número 2 é primo”. É uma proposição verdadeira;
- “O número 11 é par”. É uma proposição com valor lógico falso.
Não são proposições:
- “Maria gosta de café?”. Não podemos classificar como verdadeira ou falsa, pois depende de uma resposta. É uma oração interrogativa.
- “João, vá estudar!”. Orações imperativas não da para classificar como verdadeira ou falsa.
Sentenças Abertas
Chamamos sentenças abertas, as sentenças que não podemos identificá-las como verdadeiras ou falsas:
- x + 1 = 0: não podemos afirmar se é verdadeira ou falsa, pois depende do valor de x.
A sentença é verdadeira se x = -1, caso contrário ela será falsa. Então, quando uma sentença não pode ser classificada como verdadeira ou falsa, ela é chamada sentença aberta.
Conectivos
Os conectivos servem para conectar as proposições. São símbolos que ao conectarem as proposições, podemos inferir uma conclusão, e a proposição composta terá valor lógico verdadeiro ou falso determinado pelo valor lógico de cada proposição simples.
Os conectivos são os seguintes:
- … e…
- … ou…
- não…
- se… então…
- … se, e somente se, …
Na lógica os conectivos são representados por símbolos, tais símbolos para cada um dos conectivos acima são apresentados na tabela abaixo:
| Conectivo | Símbolo |
|---|---|
| e | ∧ |
| ou | ∨ |
| não | ~ ou ¬ |
| se … então … | → |
| … se, e somente se, (…) | ↔ |
Proposições Simples e Compostas
As proposições podem ser classificadas em simples e compostas. As proposições são chamadas simples se estiverem únicas, sem a presença de conectivos.
Proposições simples ou atômicas
As proposições simples são formadas por um única proposição. Elas são nomeadas pelas letras minúsculas do alfabeto.
Proposições compostas
As proposições compostas são formadas pela conexão de duas ou mais proposições simples. Elas são nomeadas pelas letras maiúsculas do alfabeto.
Utilizando os conectivos podemos conectar as proposições simples, gerando-se as proposições compostas.
Exemplo:
- A: o número 3 é par e o número 2 é ímpar;
- B: se o Brasil é um país continental então os Estados Unidos também é;
- C: o número 4 é par ou o número 7 é primo;
- D: a banana é amarela se, e somente se, ela está madura.
Podemos ver nos exemplos acima os conectivos em negritos. Os conectivos conectam proposições simples. Podemos, então, utilizar letras minúsculas para nomear as proposições simples e o símbolo de cada conectivos.
- A: p ∧ q
- B: b → e
- C: r ∨ s
- D: m ↔ v
Analisando agora os valores lógicos de cada uma das proposições podemos afirmar que A, B, C e D possuem os seguintes valores lógicos: F, V, V e V, respectivamente.
Tabela Verdade
A tabela verdade é utilizada para poder descobrir o valor lógico de uma proposição composta. As proposições simples são relativamente fáceis de saber seu valor lógico, mas uma proposição composta formada por outras proposições simples, pode ser difícil dizer se é verdadeira ou falsa.
Por esse motivo é que usamos a tabela verdade para analisar cada caso e descobrir o valor lógico da proposição.
Exemplo:
Vamos construir uma tabela verdade para a seguinte proposição: p ∧ q.
| p | q | p ∧ q |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | F |
Pela tabela verdade não podemos afirmar que a expressão p ∧ q seja verdade. Ela somente é verdade para um caso, quando p e q forem verdades.
Teorema Sobre o Número de Linhas da Tabela Verdade
Na tabela verdade é apresentada todas as possíveis combinações para os valores V e F a cada uma das proposições simples.
No número de linhas que uma tabela verdade terá, considera-se o total de proposições simples. Para determinar a quantidade de linhas da tabela verdade, utilizamos a seguinte fórmula: 2n. Onde n é o total de proposições simples.
Para construir a tabela verdade devemos seguir os seguintes passos:
- Determinar o número de linhas que a tabela terá, utilizando a fórmula: 2n;
- Atentar para a precedência entre os conectivos nas proposições;
- Aplicar os valores lógicos para cada uma das proposições na tabela verdade.
Exemplo:
Considere a seguinte proposição composta:
- Se há nuvens, choverá ou teremos vento.
Indicando as proposições simples como:
- p: Se há nuvens;
- q: choverá;
- r: teremos vento.
Agora vamos ligar as proposições utilizando conectivos:
- (p → q) ∨ r
Vamos então construir a tabela verdade para a proposição acima. A tabela terá 8 linhas, pois a proposição composta, (p → q) ∨ r, é formada por três proposições simples, p, q e r, então pelo teorema das linhas, temos que: 23 = 8.
Devemos agora colocar cada uma das proposições simples separadas em cada coluna. Depois devemos olhar para as proposições com dependência, como p → q, que está em parênteses; p e q dependem do valor lógico uma da outra. Por fim, na última coluna colocamos toda a proposição composta.
| p | q | r | p → q | (p → q) ∨ r |
|---|---|---|---|---|
| V | V | V | V | V |
| V | V | F | V | V |
| V | F | V | F | V |
| V | F | F | F | F |
| F | V | V | V | V |
| F | V | F | V | V |
| F | F | V | V | V |
| F | F | F | V | V |
Na primeira coluna, dividimos os valores lógicos na metade, 4V e 4F. Na segunda coluna a metade da primeira, 2V e 2F, intercalados. E na terceira coluna a metade da segunda, 1V e 1F, intercalados.
Analisamos a proposição, p → q, que assume valor lógico falso, quando p é verdadeiro e q falso, e valor lógico verdadeiro caso contrário.
Pela tabela verdade não podemos afirmar que a proposição composta, (p → q) ∨ r, é verdadeira, pois para um caso ela é falso.
Operações Lógicas sobre as Proposições e a Tabela Verdade
Vamos agora analisar as operações lógicas das proposições e também o valor lógico para as proposições de acordo com cada um dos conectivos usados. Vamos também construir a tabela verdade para cada caso.
Conjunção
A conjunção de duas proposições simples, p e q, é indicada por: p ∧ q (leia-se: p e q). A conjunção é verdadeira quando às duas proposições têm valor lógico verdadeiro.
A tabela verdade para a conjunção de duas proposições é a seguinte:
| p | q | p ∧ q |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | F |
Disjunção
A disjunção de duas proposições simples, p e q, é indicada por: p ∨ q (leia-se: p ou q). A disjunção é verdadeira quando pelo menos uma das proposições têm valor lógico verdadeiro.
A tabela verdade para a disjunção de duas proposições é a seguinte:
| p | q | p ∨ q |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | V |
| F | V | V |
| F | F | F |
Condicional
A condicional de duas proposições, p e q, é indicada por: p → q (leia-se: se p então q). A condicional é falsa quando a primeira proposição é verdadeira e a segunda é falsa, e verdadeira nos demais casos.
A tabela verdade para a condicional de duas proposições é a seguinte:
| p | q | p → q |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | V |
| F | F | V |
Bi condicional
A bi condicional de duas proposições, p e q, é indicada por: p ↔ q (leia-se: p se, e somente se, q). A bi condicional é verdadeira quando às duas proposições têm o mesmo valor lógico.
A tabela verdade para a bi condicional de duas proposições é a seguinte:
| p | q | p ↔ q |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | V |
Negação
Negamos uma proposição atribuindo antes dela o sinal ¬ ou ~. Dessa forma a negação da proposição p é: ¬p (leia-se: não p). A negação altera o valor lógico de uma proposição, ou seja, se p tem valor lógico verdadeiro, então ¬p será falso e vice-versa.
A tabela verdade para a negação de uma proposição é a seguinte:
| p | ¬p |
|---|---|
| V | F |
| F | V |
Tautologia
Tautologia é uma palavra de origem grega que tem o seguinte significado: tautó — significa: o mesmo; e logos — significa: a mesma coisa já dita.
Na lógica matemática, uma tautologia é usada para dizer que uma proposição é sempre verdadeira. No dia a dia usamos expressões que tem a mesma ideia.
Exemplo:
- Entrar para dentro;
- O açúcar é doce.
As proposições compostas são verdadeiras quando as proposições simples assumem valores lógicos diferentes e mesmo assim elas continuam verdadeiras.
Podemos provar que uma proposição composta é uma tautologia através da tabela verdade. Se a última coluna da tabela conter somente V, então a proposição é uma tautologia.
Exemplo:
O caso mais simples de tautologia é p ∨ (¬p) (leia-se: p ou não p). Podemos ver a tabela verdade a seguir:
| p | ¬p | p ∨ (¬p) |
|---|---|---|
| V | F | V |
| F | V | V |
Veja que na última coluna temos somente V.
Exemplo:
Vamos ver se a proposição composta q → (p → q) é uma tautologia:
| p | q | p → q | q → (p → q) |
|---|---|---|---|
| V | V | V | V |
| V | F | F | V |
| F | V | V | V |
| F | F | V | V |
De fato temos uma tautologia, pois a última coluna é toda V.
Importante:
Na tabela verdade podemos ter as seguintes situações:
- Última coluna ter somente V: tautologia;
- Última coluna ter V e F: contingente ou satisfazível;
- Última coluna ter somente F: contradição ou insatisfazível.
Bem simples, não é?
Fique com alguns exercícios de raciocínio lógico para treinar.
Exercícios Propostos
- Faça a tabela verdade para as seguintes proposições compostas:
- (p → q) ∨ r
- (p ↔ r) ∧ q
- (p ∧ q) ∨ (¬r)
- (p ∨ q) ↔ (p ∧ r)
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