Raciocínio Lógico: Entenda Agora!

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Raciocínio lógico é o estudo no sentido de determinar condições necessárias para definir determinadas proposições, estruturando um raciocínio, a fim de chegar a uma conclusão a partir delas.

Índice do Artigo

Conceitos Básicos do Raciocínio Lógico

A fim de estruturar um raciocínio lógico temos que conhecer alguns conceitos básicos essenciais para o estudo da lógica e, consequentemente, para aplicar o raciocínio lógico em questões de concursos.

Proposições

Chamamos de proposições uma declaração que representa um sentido completo, que pode ser verdadeira ou falsa.

Exemplo:

  • 2 > 1: é uma proposição com valor lógico verdadeiro;
  • 2 = 0: é uma proposição com valor lógico falso.

A lógica matemática classifica as proposições baseado em dois princípios:

Princípio da Não-Contradição

Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo”.

Princípio do Terceiro Excluído

Toda proposição ou é falsa ou é verdadeira, não há uma terceira opção”.

Valores Lógicos das Proposições

As proposições só podem ser verdadeiras ou falsas, levando em conta os princípios acima.

São proposições:

  • O Brasil é um grande país”. É um proposição verdadeira;
  • Cinco mais três é igual a dez”. É uma proposição falsa;
  • O número 2 é primo”. É uma proposição verdadeira;
  • O número 11 é par”. É uma proposição com valor lógico falso.

Não são proposições:

  • Maria gosta de café?”. Não podemos classificar como verdadeira ou falsa, pois depende de uma resposta. É uma oração interrogativa.
  • João, vá estudar!”. Orações imperativas não da para classificar como verdadeira ou falsa.

Sentenças Abertas

Chamamos de sentenças abertas, as sentenças que não podemos identificá-las como verdadeiras ou falsas:

  • x + 1 = 0: não podemos afirmar se é verdadeira ou falsa, pois depende do valor de x.

A sentença é verdadeira se x = -1, caso contrário ela será falsa. Então, quando uma sentença não pode ser classificada como verdadeira ou falsa, ela é chamada de sentença aberta.

Conectivos

Os conectivos servem para conectar as proposições. São símbolos que ao conectarem as proposições, podemos inferir uma conclusão, e a proposição composta terá valor lógico verdadeiro ou falso determinado pelo valor lógico de cada proposição simples.

Os conectivos são os seguintes:

  • … e …
  • … ou …
  • não …
  • se … então …
  • … se, e somente se, …

Na lógica os conectivos são representados por símbolos, tais símbolos para cada um dos conectivos acima são apresentados na tabela abaixo:

ConectivoSímbolo
e
ou
não~ ou ¬
se … então …
… se, e somente se, (…)

Proposições Simples e Compostas

As proposições podem ser classificadas em simples e compostas. As proposições são chamadas de simples se estiverem únicas, sem a presença de conectivos.

Proposições simples ou atômicas

As proposições simples são formadas por um única proposição. Elas são nomeadas pelas letras minúsculas do alfabeto.

Proposições compostas

As proposições compostas são formadas pela conexão de duas ou mais proposições simples. Elas são nomeadas pelas letras maiúsculas do alfabeto.

Utilizando os conectivos podemos conectar as proposições simples, gerando-se as proposições compostas.

Exemplo:

  • A: o número 3 é par e o número 2 é ímpar;
  • B: se o Brasil é um país continental então os Estados Unidos também é;
  • C: o número 4 é par ou o número 7 é primo;
  • D: a banana é amarela se, e somente se, ela está madura.

Podemos ver nos exemplos acima os conectivos em negritos. Os conectivos conectam proposições simples. Podemos, então, utilizar letras minúsculas para nomear as proposições simples e o símbolo de cada conectivos.

  • A: p ∧ q
  • B: b → e
  • C: r ∨ s
  • D: m ↔ v

Analisando agora os valores lógicos de cada uma das proposições podemos afirmas que A, B, C e D possuem os seguintes valores lógicos F, V, V e V, respectivamente.

Tabela Verdade

A tabela verdade é utilizada para poder descobrir o valor lógico de uma proposição composta. As proposições simples são relativamente fáceis de saber seu valor lógico, mas uma proposição composta formada por outras proposições simples, pode ser difícil dizer se é verdadeira ou falsa.

Por esse motivo é que usamos a tabela verdade para analisar cada caso e descobrir o valor lógico da proposição.

Exemplo:

Vamos construir uma tabela verdade para a seguinte proposição: p ∧ q.

pqp ∧ q
VVV
VFF
FVF
FFF

Pela tabela verdade não podemo afirmar que a expressão p ∧ q seja verdade. Ela somente é verdade para um caso, quando p e q forem verdades.

Teorema Sobre o Número de Linhas da Tabela Verdade

Na tabela verdade é apresentada todas as possíveis combinações para os valores V e F a cada uma das proposições simples.

No número de linhas que uma tabela verdade terá, leva em consideração o total de proposições simples. Para determinar a quantidade de linhas da tabela verdade, utilizamos a seguinte fórmula: 2n. Onde n é o total de proposições simples.

Para construir a tabela verdade devemos seguir os seguintes passos:

  1. Determinar o número de linhas que a tabela terá, utilizando a fórmula: 2n;
  2. Atentar para a precedência entre os conectivos nas proposições;
  3. Aplicar os valores lógicos para cada uma das proposições na tabela verdade.

Exemplo:

Considere a seguinte proposição composta:

  • Se há nuvens, choverá ou teremos vento.

Indicando as proposições simples como:

  • p: Se há nuvens;
  • q: choverá;
  • r: teremos vento.

Agora vamos ligar as proposições utilizando conectivos:

  • (p → q) ∨ r

Vamos então construir a tabela verdade para a proposição acima. A tabela terá 8 linhas, pois a proposição composta, (p → q) ∨ r, é formada por três proposições simples, p, q e r, então pelo teorema das linhas, temos que: 23 = 8.

Devemos agora colocar cada uma das proposições simples separada em cada uma coluna. Depois devemos olhar para as proposições com dependência, como p → q, que está em parênteses e p e q dependem do valor lógico uma da outra. Por fim, na última coluna colocamos toda a proposição composta.

pqrp → q(p → q) ∨ r
VVVVV
VVFVV
VFVFV
VFFFF
FVVVV
FVFVV
FFVVV
FFFVV

Na primeira coluna, dividimos os valores lógicos na metade, 4V e 4F. Na segunda coluna a metade da metade da primeira, 2V e 2F, intercalados. E na terceira coluna a metade da metade da segunda, 1V e 1F, intercalados.

Analisamos a proposição, p → q, que assume valor lógico falso, quando p é verdadeiro e q falso, e valor lógico verdadeiro caso contrário.

Pela tabela verdade não podemos afirmar que a proposição composta, (p → q) ∨ r, é verdadeira, pois para um caso ela é falso.

Operações Lógicas sobre as Proposições e a Tabela Verdade

Vamos agora analisar as operações lógicas das proposições e também o valor lógico para as proposições de acordo com cada um dos conectivos usados. Vamos também construir a tabela verdade para cada caso.

Conjunção

A conjunção de duas proposições simples, p e q, é indicada por: p ∧ q (leia-se: p e q). A conjunção é verdadeira quando as duas proposições têm valor lógico verdadeiro.

A tabela verdade para a conjunção de duas proposições é a seguinte:

pqp ∧ q
VVV
VFF
FVF
FFF

Disjunção

A disjunção de duas proposições simples, p e q, é indicada por: p ∨ q (leia-se: p ou q). A disjunção é verdadeira quando pelo menos uma das proposições têm valor lógico verdadeiro.

A tabela verdade para a disjunção de duas proposições é a seguinte:

pqp ∨ q
VVV
VFV
FVV
FFF

Condicional

A condicional de duas proposições, p e q, é indicada por: p → q (leia-se: se p então q). A condicional é falsa quando a primeira proposição é verdadeira e a segunda é falsa, e verdadeira nos demais casos.

A tabela verdade para a condicional de duas proposições é a seguinte:

pqp → q
VVV
VFF
FVV
FFV

Bi-condicional

A bi-condicional de duas proposições, p e q, é indicada por: p ↔ q (leia-se: p se, e somente se, q). A bi-condicional é verdadeira quando as duas proposições têm o mesmo valor lógico.

A tabela verdade para a bi-condicional de duas proposições é a seguinte:

pqp ↔ q
VVV
VFF
FVF
FFV

Negação

Negamos uma proposição atribuindo antes dela o sinal ¬ ou ~. Dessa forma a negação da proposição p é: ¬p (leia-se: não p). A negação altera o valor lógico de uma proposição, ou seja, se p tem valor lógico verdadeiro, então ¬p terá valor lógico falso e vice-versa.

A tabela verdade para a negação de uma proposição é a seguinte:

p¬p
VF
FV

Tautologia

Tautologia é uma palavra de origem grega que tem o seguinte significado: tautó – significa: o mesmo; e logos – significa: a mesma coisa ja dita.

Na lógica matemática, uma tautologia é usada para dizer que uma proposição é sempre verdadeira. No dia a dia usamos expressões que tem a mesma ideia.

Exemplo:

  • Entrar para dentro;
  • O açúcar é doce.

As proposições compostas são verdadeiras quando as proposições simples assumem valores lógicos diferentes e e mesmo assim elas continuam verdadeiras.

Podemos provar que uma proposição composta é uma tautologia através da tabela verdade. Se a última coluna da tabela conter somente V, então a proposição é uma tautologia.

Exemplo:

O caso mais simples de tautologia é p ∨ (¬p) (leia-se: p ou não p). Podemos ver a tabela verdade a seguir:

p¬pp ∨ (¬p)
VFV
FVV

Veja que na última coluna temos somente V.

Exemplo:

Vamos ver se a proposição composta q → (p → q) é uma tautologia:

pqp → qq → (p → q)
VVVV
VFFV
FVVV
FFVV

De fato temos uma tautologia, pois a última coluna é toda V.

Importante:

Na tabela verdade podemos ter as seguintes situações:

  • Última coluna ter somente V: tautologia;
  • Última coluna ter V e F: contingente ou satisfatível;
  • Última coluna ter somente F: contradição ou insatísfatível.

Bem simples, não é?

Fique com alguns exercícios de raciocínio lógico para treinar.

Exercícios Propostos

  1. Faça a tabela verdade para as seguintes proposições compostas:
    • (p → q) ∨ r
    • (p ↔ r) ∧ q
    • (p ∧ q) ∨ (¬r)
    • (p ∨ q) ↔ (p ∧ r)

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