Calcula a exponenciação modular xy mod n de imediato. Introduz a base, o expoente e o módulo para obteres o resto de forma eficiente através do algoritmo de exponenciação binária.
Calculadora de exponenciação modular
Como utilizar a calculadora
- No campo x (base), introduz a base (um número inteiro).
- No campo y (expoente), introduz o expoente (um número inteiro não negativo).
- No campo n (módulo), introduz o módulo (um número inteiro positivo, n ≥ 1).
- Seleciona Calcular. O valor de xy mod n aparece no campo Resultado.
- Para iniciares um novo cálculo, seleciona Limpar.
O que é a exponenciação modular?
A exponenciação modular calcula o resto da divisão de xy por n:
xy mod n = r
em que r é o resto da divisão de xy por n, com 0 ≤ r < n.
Esta operação é essencial na teoria dos números e na criptografia de chave pública (incluindo o RSA), áreas em que é necessário calcular potências muito elevadas de forma eficiente.
Exponenciação modular rápida
Calcular xy diretamente torna-se impraticável quando o expoente é elevado. O algoritmo de exponenciação binária resolve o problema em O(log y) operações, elevando repetidamente a base ao quadrado:
- Se y for par: xy = (xy/2)2
- Se y for ímpar: xy = x × xy−1
O módulo é aplicado em cada etapa, mantendo reduzidos os valores intermédios.
Exemplos de exponenciação modular
| x (base) | y (expoente) | n (módulo) | xy mod n |
|---|---|---|---|
| 2 | 10 | 7 | 2 |
| 3 | 4 | 5 | 1 |
| 5 | 3 | 13 | 8 |
| 7 | 0 | 10 | 1 |
| 2 | 100 | 1000000007 | 976371285 |
Perguntas frequentes
O que é a exponenciação modular?
A exponenciação modular calcula xy mod n: o resto obtido ao dividir xy por n. É uma operação fundamental na criptografia e na teoria dos números.
Como calculo xy mod n?
Introduz a base x, o expoente y e o módulo n e seleciona Calcular. O resultado é o resto da divisão de xy por n, calculado através da exponenciação modular rápida.
Porque se utiliza a exponenciação modular na criptografia?
A exponenciação modular está na base do RSA e do protocolo Diffie–Hellman. É eficiente no sentido direto, mas extremamente difícil de inverter através do problema do logaritmo discreto — uma assimetria útil para a segurança digital.
Quanto é 2¹⁰ mod 7?
2¹⁰ = 1024 e 1024 = 146 × 7 + 2. Logo, 2¹⁰ mod 7 = 2.
O que é o algoritmo de exponenciação binária?
É um método eficiente para calcular xy mod n, dividindo repetidamente o expoente por dois. Reduz o número de operações de O(y) para O(log y), o que permite tratar potências enormes numa fração de segundo.
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