Calcula o inverso multiplicativo modular (a · x ≡ 1 mod m) e o inverso aditivo modular (a + x ≡ 0 mod m) de imediato. A calculadora utiliza o algoritmo de Euclides estendido e apresenta a solução passo a passo com verificação.
Calculadora de Inverso Modular
a · x = 1 mod m
Como utilizar a calculadora
- Escolhe o tipo de inverso: Multiplicativo ou Aditivo.
- Introduz o valor de a (qualquer número inteiro).
- Introduz o módulo m (número inteiro ≥ 2).
- Clica em Calcular. O resultado apresenta a equação, a solução e a verificação.
Inverso multiplicativo modular
O inverso multiplicativo modular de a em relação ao módulo m é o número inteiro x que satisfaz:
a · x ≡ 1 (mod m)
Existe apenas quando mdc(a, m) = 1 (a e m são coprimos). Calcula-se com o algoritmo de Euclides estendido, que encontra os inteiros x e y tais que a·x + m·y = 1.
| a | m | Inverso x | Verificação |
|---|---|---|---|
| 2 | 3 | 2 | 2 · 2 = 4 ≡ 1 mod 3 |
| 3 | 7 | 5 | 3 · 5 = 15 ≡ 1 mod 7 |
| 5 | 11 | 9 | 5 · 9 = 45 ≡ 1 mod 11 |
| 7 | 13 | 2 | 7 · 2 = 14 ≡ 1 mod 13 |
Inverso aditivo modular
O inverso aditivo modular de a em relação ao módulo m é o número inteiro x que satisfaz:
a + x ≡ 0 (mod m)
Existe sempre e é x = m − (a mod m) quando a mod m ≠ 0, ou x = 0 quando a é múltiplo de m.
| a | m | Inverso x | Verificação |
|---|---|---|---|
| 2 | 3 | 1 | 2 + 1 = 3 ≡ 0 mod 3 |
| 5 | 7 | 2 | 5 + 2 = 7 ≡ 0 mod 7 |
| 9 | 5 | 1 | 9 + 1 = 10 ≡ 0 mod 5 |
| 6 | 3 | 0 | 6 + 0 = 6 ≡ 0 mod 3 |
Perguntas frequentes
O que é o inverso multiplicativo modular?
O inverso multiplicativo modular de a em relação ao módulo m é o valor x que satisfaz a · x ≡ 1 (mod m). Existe apenas quando mdc(a, m) = 1 e calcula-se com o algoritmo de Euclides estendido.
O que é o inverso aditivo modular?
O inverso aditivo modular de a em relação ao módulo m é x que satisfaz a + x ≡ 0 (mod m). Existe sempre: x = m − (a mod m) quando a mod m ≠ 0; ou x = 0 quando a é múltiplo de m.
Quando existe o inverso multiplicativo modular?
Apenas quando mdc(a, m) = 1, ou seja, quando a e m não têm nenhum divisor comum maior que 1. Se mdc(a, m) > 1, a equação a·x ≡ 1 (mod m) não tem solução.
Como se calcula o inverso multiplicativo modular?
Usa-se o algoritmo de Euclides estendido: encontrar os inteiros x e y tais que a·x + m·y = mdc(a, m). Se mdc = 1, então a·x ≡ 1 (mod m) e x (reduzido a [0, m−1]) é o inverso procurado.
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