Resolva os exercícios a seguir sobre soma e produto sem conferir as respostas antecipadamente. Confira após resolver cada questão para, assim, fixar o aprendizado sobre o tema.
1) Encontre as raízes da equação do segundo grau x² + 5x + 4 = 0 através da soma e produto.
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Podemos encontrar as raízes de uma equação do segundo grau através da soma e produto se a equação possui duas raízes reais e distintas.
Coeficientes da equação: x² + 5x + 4 = 0
a = 1
b = 5
c = 4
Verificamos se a equação possui raízes reais através do descriminante delta: ∆ = b² – 4ac
Então, ∆ = 5² – 4 . 1 . 4 = 25 – 16 = 9
Como ∆ > 0, então a equação possui duas raízes reais e distintas.
A soma é dada por: S = -b/a = -5/1 = -5
O produto é dado por: P = c/a = 4/1 = 4
Assim, temos que:
x’ + x” = -5
x’ . x” = 4
Temos, portanto, que encontrar dois números reais que satisfazem as expressões acima. Sugestão, comece pelo produto.
Vamos lá, vamos testar:
2 . 2 = 4
4 . 1 = 4
(-4) . (-1) = 4
Essa ultima opção parece viável, pois (-4) . (-1) = 4 e (-4) + (-1) = -5.
x’ + x” = (-4) + (-1) = -5
x’ . x” = (-4) . (-1) = 4
Portanto, as raízes reais da equação x² + 5x + 4 = 0 são: -4 e -1
S = {x ∈ R | x = -4 ou x = -1
2) Resolva a equação 2x² – 6x – 8 = 0 através da soma e produto.
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Coeficientes:
a = 2
b = -6
c = -8
∆ = b² – 4ac = (-6)² – 4 . 2 . (-8) = 36 + 64 = 100
S = -b/a = -(-6)/2 = 3
P = c/a = -8/2 = -4
Assim:
x’ + x” = 3
x’ . x” = -4
Vamos encontrar números que satisfazem as expressões acima:
Começando pelo produto, então temos que:
-1 . 4 = -4
Veja que encontramos, pois -1 + 4 = 3
x’ + x” = -1 + 4 = 3
x’ . x” = -1 . 4 = -4
Portanto, as raízes da equação são: -1 e 4.
S = {x ∈ R | x = -1 ou x = 4}
3) Encontre as raízes da equação x² – 5x + 6 = 0 através da soma e produto.
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Coeficientes:
a = 1
b = -5
c = 6
Discriminante:
∆ = b² – 4ac = (-5)² – 4 . 1 . 6 = 25 – 24 = 1
Soma e produto:
S = -b/a = -(-5)/1 = 5
P = c/a = 6/1 = 6
Então, temos que:
x’ + x” = 5
x’ . x” = 6
Vamos encontrar números que satisfazem as expressões acima, começando pelo produto:
1 . 6 = 6
2 . 3 = 6
Perceba que 2 + 3 = 5, então já encontramos:
x’ + x” = 2 + 3 = 5
x’ . x” = 2 . 3 = 6
Portanto, as raízes da que resolvem a equação são: 2 e 3.
S = {x ∈ R | x = 2 ou x = 3}
Alguns exercícios são muito difíceis de resolver com soma e produto, por exemplo, quando o discriminante ∆ não tem como resultado um número em que facilmente possamos calcular a raiz quadrada.
Dessa forma, para resolver este tipo de exercício é melhor utilizar a forma usual de calcular raízes de uma equação do segundo grau, que é usando Bhaskara.
