Exercícios Sobre Fatorial, Resolvidos

Temos que:

3! = 3 . 2 . 1 = 6

7! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1

9! = 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 2 . 1

Logo:

Como se trata de uma multiplicação, podemos simplificar cortando o numerador com o denominador

Veja que n! = n(n – 1)(n – 2)! assim, temos:

A expressão (n – 1)! é equivalente a (n – 1)(n – 2)!, então temos o seguinte:

Temos que (x + 3)! = (x + 3)(x + 2)(x + 1)! e (x + 2)! = (x + 2)(x + 1)!, logo:

(x + 3)! + (x + 2)! = 8(x + 1)! ⇒

(x + 3)(x + 2)(x + 1)! + (x + 2)(x + 1)! = 8(x + 1)! ⇒ Cortando (x + 1)!

(x + 3)(x + 2) + (x + 2) = 8 ⇒

(x + 2)((x + 3) + 1) = 8 ⇒ (colocamos x + 2 em evidência)

(x + 2)(x + 4) = 8 ⇒

x² + 4x + 2x + 8 = 8 ⇒

x² + 6x + 8 = 8 ⇒

x² + 6x + 8 – 8 = 0 ⇒

x² + 6x = 0 ⇒

x² + 6x = 0 ⇒ (Chegamos a uma equação do segundo grau, devemos encontrar as raízes da equação)

Portanto, as raízes são: x = 0 ou x = -6

Temos que:

(n + 1)! = (n + 1) . n . (n – 1) . (n – 2)!

n! = n(n – 1)(n – 2)!

Logo:

Colocando (n – 2)! em evidência, temos:

Cortando (n – 2)!, temos o seguinte:

Com n ≥ 2.

É bastante comum encontrar exercícios deste tipo com fatorial, como esta questão do vestibular da FEI.

Vamos desenvolver alguns dos fatoriais acima para simplificar:

n! = n(n – 1)!

(n +1)! = (n + 1)n(n – 1)!

Logo, vai ficar assim após substituirmos:

No denominador podemos colocar (n – 1)! em evidência. Assim:

Eliminando (n – 1)!, fica da seguinte forma:

Multiplicando em cruz, temos:

(n + 1) . 25 = ((n + 1)n – n) . 6 ⇒

25n + 25 = (n² + n – n) . 6 ⇒

25n + 25 = 6n² + 6n – 6n ⇒

6n² – 25n – 25 = 0

Temos agora uma equação do segundo grau e devemos encostrar as raízes para encontrar o valor de n.

Coeficientes:

a = 6; b = – 25; c = – 25

Δ = b² – 4ac ⇒

Δ = (- 25)² – 4 . 6 . (- 25) ⇒

Δ = (- 25)² – 4 . 6 . (- 25) ⇒

Δ = 625 – (- 600) ⇒

Δ = 1225

Continuando…

Logo,

ou

Como número fatorial somente pode ser número inteiro, temos que o valor aceitável, neste caso, é 5. Portanto, o valor de n é 5.

Resolvendo por partes, temos que (2n)! = 2n . (2n – 1) . (2n – 2)!

Dessa forma, podemos reescrever a expressão assim:

Eliminando (2n – 2)! e 2, temos então:

Veja que:

(n + 2)! = (n +2)(n + 1)n(n – 1)(n – 2)!

(n + 3)! = (n + 3)(n + 2)(n + 1)n(n -1)!

Então fica assim:

Eliminando o que for possível, ou seja, os termos coincidentes, temos o seguinte:

Podemos desenvolver (n – 1)!, logo:

(n – 1)! = (n-1)(n-2)!

Assim, substituindo fica:

Cancelando os temos iguais, temos então:

Podemos fazer a distributiva realizando o produto de (n + 3)(n – 1) ou deixar assim. Se fizermos o produto encontraremos um polinômio: (n + 3)(n – 1) = n² + 2n – 3.