Critérios de divisibilidade são regras de divisibilidade que usamos para verificar se um número é divisível por outro.
Um número é divisível por outro quando o resto da divisão entre os dois é igual a zero. Entretanto, para saber se um número é divisível por outro precisamos conhecer os critérios de divisibilidade.
Se obedecer a estes critérios de divisibilidade, a divisão será exata, isto é, terá resto zero, e então podemos afirmar que o número é divisível pelo outro em questão.
Critérios de Divisibilidade
Divisibilidade por 1
É trivial. Todo número é divisível por 1.
Divisibilidade por 2
Um número é divisível por 2 quando ele for par, isto é, quando termina em 0, 2, 4, 6 e 8.
Exemplos:
- 50 é divisível por 2, pois termina em 0.
- 244 é divisível por 2, pois termina em 4.
- 51 não é divisível por 2, pois termina em 1, isto é, não é um número par.
Divisibilidade por 3
Um número é divisível por 3 se a soma de seus algarismos for um número divisível por 3.
Exemplos:
- 72 é divisível por 3, pois 7 + 2 = 9, e 9 é um número divisível por 3.
- 4119 é divisível por 3, pois 4 + 1 + 1 + 9 = 15, 15 é um número divisível por 3
- 511 não é divisível por 3, pois 5 + 1 + 1 = 7, e 7 não é divisível por 3.
Divisibilidade por 4
Um número é divisível por 4 se termina em 00 ou quando os dois últimos algarismos formam um número divisível por 4.
Exemplos:
- 500 é divisível por 4, pois termina em 00.
- 1016 é divisível por 4, pois 16 é divisível por 4.
- 150 não é divisível por 4, pois 50 não é divisível por 4.
Divisibilidade por 5
Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5. Assim, todo número que termina em 0 ou 5 é divisível por 5.
Exemplos:
- 10 é divisível por 5, pois termina em 0.
- 15 é divisível por 5, pois termina em 5.
- 102 não é divisível por 5, pois termina em 2.
Divisibilidade por 6
Todo número que for divisível por 2 e por 3, também será divisível por 6.
Exemplos:
- 24 é divisível por 2 e por 3, logo também é divisível por 6.
- 810 é divisível por 2 e por 3, logo também é divisível por 6.
- 1011 não é divisível por 6, pois não é divisível por 2.
Divisibilidade por 7
Um número é divisível por 7 se multiplicarmos o último número por 2 e subtrairmos o resultado pelos números que restaram. Se o resultado for divisível por 7, então o número é divisível por 7.
Exemplos:
- 553 é divisível por 7, pois 2 x 3 = 6 e 55 – 6 = 49. 49 é divisível por 7.
- 210 é divisível por 7, pois 2 x 0 = 0 e 21 – 0 = 21. 21 é divisível por 7.
- 200 não é divisível por 7, pois 2 x 0 = 0 e 20 – 0 = 20. 20 não é divisível por 7.
Divisibilidade por 8
Um número é divisível por 8 se termina em 000, ou quando os três últimos números forem divisíveis por 8.
Exemplos:
- 1000 é divisível por 8, pois termina em 000.
- 3120 é divisível por 8, pois 120 é divisível por 8.
- 5410 não é divisível por 8, pois 410 não é divisível por 8.
Divisibilidade por 9
Um número é divisível por 9 se a soma de seus algarismos forem divisíveis por 9.
Exemplos:
- 1080 é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos é igual a 1 + 0 + 8 + 0 = 9, como 9 é divisível por 9, então 1080 é divisível por 9.
- 9990 é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos é igual a 9 + 9 + 9 + 0 = 27, e 27 é divisível por 9, então 9990 é divisível por 9.
- 1210 não é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos é igual a 1 + 2 + 1 + 0 = 4 e 4 não é divisível por 9.
Divisibilidade por 10
Um número é divisível por 10 quando termina em 0.
Exemplos:
- 100 é divisível por 10.
- 500 é divisível por 10.
- 2000 é divisível por 10.
Divisibilidade por 11
Um número é divisível por 11 se, e somente se, sendo x a soma dos algarismos de ordem ímpar e y a soma dos algarismos de ordem par, então x – y é divisível por 11.
Exemplos:
- 10989 é divisível por 11, pois a soma dos algarismos de ordem ímpar, 1 + 9 + 9 = 19, e dos algarismos de ordem par, 0 + 8 = 8, fazendo a diferença entre ímpares e pares, temos 19 – 8 = 11, como 11 é divisível por 11, então 10989 é divisível por 11.
- 8987 é divisível por 11, pois a soma dos algarismos de ordem ímpar, 8 + 8 = 16, e a soma dos algarismos de ordem par, 9 + 7 = 16, fazendo a diferença entre ímpares e pares, 16 – 16 = 0, o resultado é zero, como zero é divisível por 11, então 8987 é divisível por 11.
- 2253 não é divisível por 11, pois a soma dos algarismos de ordem ímpar, 2 + 5 = 7, e dos algarismos de ordem par, 2 + 3 = 5, fazendo a diferença, 7 – 5 = 2, como 2 não é divisível por 11, 2253 não é divisível por 11.
Divisibilidade por 12
Um número é divisível por 12 quando for divisível por 3 e também por 4.
Exemplos:
- 96 é divisível por 12, pois é divisível por 3 e também por 4.
- 396 é divisível por 12, pois é divisível por 3 e também por 4.
- 125 não é divisível por 12, pois não é divisível por 3 e nem por 4.
Divisibilidade por 13
Um número é divisível por 13 quando multiplicamos o último algarismo por 4, somando-se os números restantes – sem o último número – pelo produto anterior, for um número divisível por 13.
Se o número obtido nesse processo for demasiadamente grande, o processo deve ser repetido o quanto for necessário.
Exemplos:
- 1287 é divisível por 3, pois 7 x 4 = 28 ⇒ 128 + 28 = 156 ⇒ 6 x 4 = 24 ⇒ 15 + 24 = 39, como 39 é divisível por 13, então 1287 é divisível por 13.
- 89 não é divisível por 13, pois 9 x 4 = 36 ⇒ 36 + 8 = 44 ⇒ 4 x 4 = 16 ⇒ 16 + 4 = 20, como 20 não é divisível por 13, 89 não é divisível por 13.
Divisibilidade por 14
Um número é divisível por 14 se, e somente se, este número for divisível por 7 e também por 2.
Exemplos:
- 98 é divisível por 14, pois é divisível por 7 e também por 2.
- 756 é divisível por 14, pois é divisível por 7 e também por 2.
- 452 não é divisível por 14, pois não é divisível por 7.
Divisibilidade por 15
Um número é divisível por 15 se, e somente se, este número for divisível por 3 e também por 5.
Exemplos:
- 825 é divisível por 15, pois é divisível por 3 e também por 5.
- 330 é divisível por 15, pois é divisível por 3 e também por 5.
- 251 não é divisível por 15, pois não é divisível por 3 e nem por 5.
Divisibilidade por 16
Um número é divisível por 16 se, e somente se, os últimos quatro algarismos forem 0 ou divisíveis por 16.
Exemplos:
- 80000 é divisível por 16, pois termina em 0000.
- 34800 é divisível por 16, pois 4800 divisível por 16.
- 67532 não é divisível por 16, pois não termina em 0000 e nem 7532 é divisível por 16 .
Divisibilidade por 17
Um número é divisível por 17 se, e somente se, a multiplicação do último algarismo por 5, subtraindo os números restantes – sem o último número – pelo produto anterior, obtiver um número divisível por 17.
Se o número for demasiadamente grande, repita este processo até chegar a um número menor que seja divisível por 17.
Exemplos:
- 9384 é divisível por 17, pois termina em 4 x 5 = 20 e 938 – 20 = 918. Temos um número grande, vamos continuar o processo. 918 temos que 8 x 5 = 40 e 91 – 40 = 51. Continuando, 1 x 5 = 5, e 5 – 5 = 0. Como zero é divisível por 17, temos que 9384 é divisível por 17.
- 532 não é divisível por 17, pois 2 x 5 = 10 ⇒ 53 – 10 = 43 ⇒ 3 x 5 = 15 ⇒ 4 – 15 = -11. Como -11 não é divisível por 17, então 532 não é divisível por 17.
Divisibilidade por 19
Um número é divisível por 19, se, e somente se, o dobro do último algarismo somado aos números restantes – sem o último algarismo -, obtiver um número divisível por 19.
Se obtivermos um número demasiadamente grande, esse processo deve ser repetido até obter um número divisível por 19.
Exemplos:
- 92815 é divisível por 19, pois o dobro do último algarismo é: 5 + 5 = 10, somado aos números restantes, ou seja, sem o último algarismo é: 9281 + 10 = 9291. Continuando o processo: 1 + 1 = 2 ⇒ 929 + 2 = 931 ⇒ 1 + 1 = 2 ⇒ 93 + 2 = 95 ⇒ 5 + 5 = 10 ⇒ 10 + 9 = 19, como 19 é divisível por 19, então 92815 é divisível por 19.
- 365 não é divisível por 19, pois 5 + 5 = 10 ⇒ 36 + 10 = 46 ⇒ 6 + 6 = 12 ⇒ 12 + 4 = 16, como 16 não é divisível por 19, então 365 não é divisível por 19.
Divisibilidade por 23
Um número é divisível por 23 quando multiplicamos o último algarismo desse número por 7, somado aos números restantes, ou seja, sem o último algarismo desse número, obtivermos um número divisível por 23.
Se o obtivermos um número demasiadamente grande, esse processo deve ser repetido até obtermos um número adequado que possamos verificar se é divisível por 23.
Exemplos:
- 1288 é divisível por 23, pois 8 x 7 = 56 ⇒ 128 + 56 = 184 ⇒ 4 x 7 = 28 ⇒ 18 + 28 = 46, como 46 é divisível por 23, então 1288 é divisível por 23.
- 723 não é divisível por 23, pois 3 x 7 = 21 ⇒ 72 + 21 = 93 ⇒ 3 x 7 = 21 ⇒ 21 + 9 = 30. Como 30 não é divisível por 23, 723 não é divisível por 23.
Divisibilidade por 24
Um número é divisível por 24, se este número for divisível por 3 e por 8.
Exemplos:
- 48 é divisível por 24, pois é divisível por 3 e também por 8.
- 456 é divisível por 24, pois é divisível por 3 e também por 8.
- 162 não é divisível por 24, pois não é divisível por 8.
Divisibilidade por 25
Um número é divisível por 25 se, e somente se, este número for terminado em 00, 25, 50 ou 75.
Exemplos:
- 300 é divisível por 25, pois termina em 00.
- 125 é divisível por 25, pois termina em 25.
- 450 é divisível por 25, pois termina em 50.
- 675 é divisível por 25, pois termina em 75.
- 353 não é divisível por 25, pois não termina em 00, 25, 50 ou 75.
Divisibilidade por 29
Um número é divisível por 29, quando o último algarismo desse número multiplicado por 3, somando-se ao restante dos números, ou seja, sem o último algarismo, nos fornece um número divisível por 29.
Se o número obtido for excessivamente grande, este processo deve ser repetido até obtermos um número que pode ser verificado se é divisível por 29.
Exemplos:
- 1624 é divisível por 29, pois 4 x 3 = 12 ⇒ 162 + 12 = 174 ⇒ 4 x 3 = 12 ⇒ 17 + 12 = 29, como 29 é divisível por 29, então 1624 é divisível por 29.
- 154 não é divisível por 29, pois 4 x 3 = 12 ⇒ 15 + 12 = 27, como 27 não é divisível por 29, então 154 não é divisível por 29.
Divisibilidade por 31
Um número é divisível por 31 quando o último algarismo multiplicado por 3, subtraindo-se o restante dos números, ou seja, sem o último algarismo, obtemos um número divisível por 31.
Se o número obtido for um número muito grande, devemos repetir esse processo quantas vezes forem necessários.
Exemplos:
- 2046 é divisível por 31, pois 6 x 3 = 18 ⇒ 204 – 18 = 186 ⇒ 6 x 3 = 18 ⇒ 18 – 18 = 0, como 0 é divisível por 31, então 2046 é divisível por 31.
- 654 não é divisível por 31, pois 4 x 3 = 12 ⇒ 65 – 12 = 53 ⇒ 3 x 3 = 9 ⇒ 9 – 5 = 4, como 4 não é divisível por 31, 654 não é divisível por 31.
Divisibilidade por 32
Um número é divisível por 32, se, e somente se, os cinco últimos algarismos forem 0 ou divisíveis por 32.
Exemplos:
- 20000 é divisível por 32, pois é terminado com cinco zeros.
- 1530080 é divisível por 32, pois 30080 é divisível por 32.
- 122252 não é divisível por 32, pois 22252 não é divisível por 32.
Divisibilidade por 35
Um número é divisível por 35, se, e somente se, este número for divisível por 5 e também por 7.
Exemplos:
- 455 é divisível por 35, pois é divisível por 5 e também por 7.
- 535 não é divisível por 35, pois não é divisível por 7, somente por 5.
Divisibilidade por 49
Um número é divisível por 49 quando multiplicamos seu último algarismo por 5, somando-se o restante do número, ou seja, sem o último algarismo, obtendo assim um número divisível por 49.
Caso o número obtido seja muito grande, deve-se continuar este processo até obtermos um número que seja possível verificar sua divisibilidade por 49.
Exemplos:
- 1127 é divisível por 49, pois 7 x 5 = 35 ⇒ 112 + 35 = 147 ⇒ 7 x 5 = 35 ⇒ 14 + 35 = 49, como 49 é divisível por 49, então 1127 é divisível por 49.
- 754 não é divisível por 49, pois 4 x 5 = 20 ⇒ 75 + 20 = 95 ⇒ 5 x 5 = 25 ⇒ 9 + 25 = 34, como 34 não é divisível por 49, então 754 não é divisível por 49.
Divisibilidade por 50
Um número é divisível por 50, se, e somente se, este número terminar em 00, 50 ou quando for divisível por 2 e também por 25.
Exemplos:
- 500 é divisível por 50, pois termina em 00.
- 250 é divisível por 50, pois termina em 50.
- 1050 é divisível por 50, pois termina em 50.
- 346 não é divisível por 50, pois não termina em 00 ou 50.
Divisibilidade por 64
Um número é divisível por 64, quando os últimos seis algarismos desse número terminar em 0 ou forem divisíveis por 64.
- 6000000 é divisível por 64, pois termina em seis zeros.
- 6003456 é divisível por 64, pois 003456 é divisível por 64.
- 2646626 não é divisível por 64, pois 646626 não é divisível por 64.
Divisibilidade por 100
Um número é divisível por 100 quando termina em 00.
Exemplos:
- 500 é divisível por 100.
- 2000 é divisível 100.
- 23500 é divisível 100.
Divisibilidade por 1000
Um número é divisível por 1000 quando termina em 000.
Exemplos:
- 3000 é divisível por 1000.
- 50000 é divisível 1000.
- 74000 é divisível 1000.
Exercícios
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