Calcola l’esponenziazione modulare xy mod n all’istante. Inserisci la base, l’esponente e il modulo per ottenere il resto in modo efficiente con l’algoritmo di esponenziazione binaria.
Calcolatore di esponenziazione modulare
Come usare il calcolatore
- Nel campo x (base) inserisci la base (un numero intero).
- Nel campo y (esponente) inserisci l’esponente (un intero non negativo).
- Nel campo n (modulo) inserisci il modulo (un intero positivo, n ≥ 1).
- Premi Calcola. Il valore di xy mod n apparirà nel campo Risultato.
- Per eseguire un nuovo calcolo, premi Cancella.
Che cos’è l’esponenziazione modulare?
L’esponenziazione modulare calcola il resto della divisione di xy per n:
xy mod n = r
dove r è il resto della divisione di xy per n, con 0 ≤ r < n.
Questa operazione è fondamentale nella teoria dei numeri e nella crittografia a chiave pubblica (compreso RSA), dove è necessario calcolare in modo efficiente potenze estremamente grandi.
Esponenziazione modulare veloce
Calcolare xy direttamente diventa impraticabile quando l’esponente è grande. L’algoritmo di esponenziazione binaria risolve il problema in O(log y) operazioni elevando ripetutamente la base al quadrato:
- Se y è pari: xy = (xy/2)2
- Se y è dispari: xy = x × xy−1
Il modulo viene applicato a ogni passaggio, così i valori intermedi restano piccoli.
Esempi di esponenziazione modulare
| x (base) | y (esponente) | n (modulo) | xy mod n |
|---|---|---|---|
| 2 | 10 | 7 | 2 |
| 3 | 4 | 5 | 1 |
| 5 | 3 | 13 | 8 |
| 7 | 0 | 10 | 1 |
| 2 | 100 | 1000000007 | 976371285 |
Domande frequenti
Che cos’è l’esponenziazione modulare?
L’esponenziazione modulare calcola xy mod n, cioè il resto ottenuto quando xy viene diviso per n. È un’operazione fondamentale nella crittografia e nella teoria dei numeri.
Come si calcola xy mod n?
Inserisci la base x, l’esponente y e il modulo n, quindi premi Calcola. Il risultato è il resto della divisione di xy per n, calcolato mediante l’esponenziazione modulare veloce.
Perché si usa l’esponenziazione modulare in crittografia?
L’esponenziazione modulare è alla base di RSA e del protocollo Diffie–Hellman. Il calcolo diretto è efficiente, ma invertirlo tramite il problema del logaritmo discreto è estremamente difficile: un’asimmetria preziosa per la sicurezza digitale.
Quanto fa 2¹⁰ mod 7?
2¹⁰ = 1024 e 1024 = 146 × 7 + 2. Quindi 2¹⁰ mod 7 = 2.
Che cos’è l’algoritmo di esponenziazione binaria?
È un metodo efficiente per calcolare xy mod n dimezzando ripetutamente l’esponente. In questo modo il numero di operazioni scende da O(y) a O(log y), consentendo di gestire potenze enormi in una frazione di secondo.
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