Usa i 3 calcolatori qui sotto: calcola C(n,k) con il procedimento passo per passo, visualizza la riga n del triangolo di Pascal o vedi l'espansione completa di (a + b)n.
Calcolatore Coefficiente Binomiale
Calcolo 1 — Coefficiente binomiale C(n, k)
Calcolo 2 — Riga n del triangolo di Pascal
Calcolo 3 — Espansione binomiale (a + b)n
Come usare il calcolatore
- Calcolo 1: Inserisci n e k per ottenere C(n,k) con il calcolo passo per passo e la sua posizione nel triangolo di Pascal.
- Calcolo 2: Inserisci n (fino a 20) per vedere tutte le righe del triangolo di Pascal fino alla riga n, con la riga n evidenziata.
- Calcolo 3: Inserisci n (fino a 15) per vedere l'espansione completa di (a + b)n con tutti i coefficienti.
Formula del coefficiente binomiale
| Notazione | Formula | Esempio |
|---|---|---|
| C(n,k) o Cₙₖ | n! ÷ (k! × (n−k)!) | C(5,2) = 120 ÷ (2 × 6) = 10 |
| Proprietà di simmetria | C(n,k) = C(n, n−k) | C(5,2) = C(5,3) = 10 |
| Casi speciali | C(n,0) = C(n,n) = 1 | C(7,0) = 1 |
| Ricorsione (Pascal) | C(n,k) = C(n−1,k−1) + C(n−1,k) | C(5,2) = C(4,1) + C(4,2) |
Domande frequenti
Che cos'è il coefficiente binomiale?
Il coefficiente binomiale C(n,k), letto "n scegli k", conta il numero di modi per scegliere k elementi da un insieme di n senza considerare l'ordine. È uguale alle combinazioni: C(n,k) = Cₙₖ = n! ÷ (k! × (n−k)!).
Esempio: C(5,2) = 5!÷(2!×3!) = 120÷12 = 10. Ci sono 10 modi per scegliere 2 oggetti da un gruppo di 5.
Come si relaziona il coefficiente binomiale con il triangolo di Pascal?
Ogni elemento del triangolo di Pascal alla riga n e colonna k (entrambe a partire da 0) è uguale a C(n,k). La regola di formazione è: C(n,k) = C(n−1,k−1) + C(n−1,k) — ogni numero è la somma dei due sopra di esso.
Qual è la differenza tra coefficiente binomiale e permutazione?
Combinazione C(n,k): sceglie k elementi senza considerare l'ordine. Permutazione P(n,k) = n!÷(n−k)!: sceglie k elementi dove l'ordine conta. C(n,k) = P(n,k) ÷ k!. Esempio: C(5,2)=10 combinazioni, P(5,2)=20 permutazioni.
Che cos'è il teorema binomiale?
Il teorema binomiale afferma che (a+b)ⁿ = Σ C(n,k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ, per k da 0 a n. I coefficienti di ogni termine sono esattamente i coefficienti binomiali C(n,k). Esempio: (a+b)² = C(2,0)·a² + C(2,1)·ab + C(2,2)·b² = a² + 2ab + b².
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