Função Quadrática: Resolução, Raízes e Gráfico

A função quadrática é uma função polinomial do 2º grau. A função quadrática tem a seguinte lei de formação: f(x) = ax² + bx + c, com a, b e c números reais e a ≠ 0.

Exemplos de funções quadráticas:

f(x) = 2x² – 2x + 1, com a = 2, b = -2 e c = 1
f(x) = x² + x – 2, com a = 1, b = 1 e c = -2
f(x) = 5x² + 3x + 3, com a = 5, b = 3 e c = 3

Definição

É uma função f: R → R definida por f(x) = ax² + bx + c, com a, b e c números reais e a ≠ 0.

Essa é a definição da função quadrática ou função polinomial do 2º grau. Devido ao grau 2, a função possui um gráfico curvo que é chamado parábola.

Resolução de uma Função Quadrática

Seja a função f(x) = 2x² – 3x + 1, encontre as raízes da função e esboce o gráfico.

Vamos resolver essa questão usando a fórmula de Bhaskara.

Raízes da Função

Vamos separar os coeficientes: f(x) = 2x² – 3x + 1

a = 2
b = -3
c = 1

Substituindo na fórmula de Bhaskara, temos:

Assim, as raízes da função são 1 e ¹⁄₂.

As raízes da função depende do discriminante: Δ = b² – 4ac

Portanto, temos as seguintes condições:

Se Δ > 0, a função possui duas raízes reais e distintas (x1 ≠ x2);
Se Δ < 0, a função não possui raízes reais;
Se Δ = 0, a função possui duas raízes reais e iguais (x1 = x2).

Gráfico da Função Quadrática

O gráfico da função quadrática é uma curva que chamamos de parábola. A necessidade de encontrarmos as raízes da função é que o gráfico deve passar pelos pontos que representam as raízes.

A orientação do gráfico depende do coeficiente a. Assim,

Se a > 0, o gráfico possui uma parábola com concavidade para cima;
Se a < 0, o gráfico possui uma parábola com concavidade para baixo.

Interseção com o eixo Oy

O gráfico cortará o eixo das ordenas (eixo y) no valor do coeficiente c, na função acima o valor de c = 1, portanto o gráfico intercepta o eixo y no ponto 1.

Raízes

As raízes encontradas acima também devem estar no gráfico, dessa forma as raízes são os dois pontos do eixo das abcissas (eixo x) onde o gráfico intercepta no eixo x.

Vértice do gráfico

O vértice do gráfico é dado pelas seguintes fórmulas: