Käytä alla olevia 3 laskuria: laske C(n,k) askel askeleelta, visualisoi Pascalin kolmion rivi n tai näe (a + b)n :n täydellinen kehitys.
Binomikerroin Laskuri
Laskuri 1 — Binomikerroin C(n, k)
Laskuri 2 — Pascalin kolmion rivi n
Laskuri 3 — Binomilausekkeen kehitys (a + b)n
Käyttöohjeet
- Laskuri 1: Anna n ja k saadaksesi C(n,k) yksityiskohtaisella laskelmalla ja sen sijainnilla Pascalin kolmiossa.
- Laskuri 2: Anna n (enintään 20) nähdäksesi kaikki Pascalin kolmion rivit riviin n asti, rivi n korostettuna.
- Laskuri 3: Anna n (enintään 15) nähdäksesi (a + b)n :n täydellisen kehityksen kaikkine kertoimineen.
Binomikertoimen kaava
| Merkintä | Kaava | Esimerkki |
|---|---|---|
| C(n,k) tai Cₙₖ | n! ÷ (k! × (n−k)!) | C(5,2) = 120 ÷ (2 × 6) = 10 |
| Symmetriaominaisuus | C(n,k) = C(n, n−k) | C(5,2) = C(5,3) = 10 |
| Erikoistapaukset | C(n,0) = C(n,n) = 1 | C(7,0) = 1 |
| Rekursio (Pascal) | C(n,k) = C(n−1,k−1) + C(n−1,k) | C(5,2) = C(4,1) + C(4,2) |
Usein kysytyt kysymykset
Mitä on binomikerroin?
Binomikerroin C(n,k), luetaan "n yli k", laskee kuinka monella tavalla k alkiota voidaan valita n:n alkion joukosta järjestystä huomioimatta. Se on sama kuin kombinaatio: C(n,k) = Cₙₖ = n! ÷ (k! × (n−k)!).
Esimerkki: C(5,2) = 5!÷(2!×3!) = 120÷12 = 10. On 10 tapaa valita 2 esinettä 5:stä.
Miten binomikerroin liittyy Pascalin kolmioon?
Jokainen Pascalin kolmion alkio rivillä n ja kohdassa k (molemmat alkavat nollasta) on yhtä suuri kuin C(n,k). Muodostumissääntö on: C(n,k) = C(n−1,k−1) + C(n−1,k) — jokainen luku on kahden yläpuolellaan olevan luvun summa.
Mikä on ero binomikertoimen ja permutaation välillä?
Kombinaatio C(n,k): valitsee k alkiota järjestystä huomioimatta. Permutaatio P(n,k) = n!÷(n−k)!: valitsee k alkiota järjestyksen kanssa. C(n,k) = P(n,k) ÷ k!. Esimerkki: C(5,2)=10 kombinaatiota, P(5,2)=20 permutaatiota.
Mitä binomilause sanoo?
Binomilause sanoo, että (a+b)ⁿ = Σ C(n,k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ, missä k kulkee 0:sta n:ään. Jokaisen termin kerroin on tasan binomikerroin C(n,k). Esimerkki: (a+b)² = C(2,0)·a² + C(2,1)·ab + C(2,2)·b² = a² + 2ab + b².
Lue myös…
