Löse ein schiefwinkliges Dreieck aus SWS- oder SSS-Daten mit dem Kosinussatz. Fehlende Seite, Winkel, Umfang und Fläche werden zusammen mit der Dreiecksungleichung geprüft.
Dreieck mit dem Kosinussatz lösen
SWS oder SSS vor dem Kosinussatz wählen
Wähle SWS für zwei Seiten mit eingeschlossenem Winkel und SSS für drei bekannte Seiten. Im SWS-Fall liefert die direkte Formel die Gegenseite; bei SSS werden die Winkel mit arccos bestimmt.
Die dritte Seite aus zwei Seiten und Zwischenwinkel
Für a = 5, b = 6 und γ = 30° ergibt sich c ≈ 3,01. Verwende den ungerundeten Wert zur Kontrolle der restlichen Winkel.
Warum die Dreiecksungleichung entscheidend ist
Bei SSS muss jede Summe zweier Seiten größer als die dritte sein. Der eingeschlossene Winkel im SWS-Fall muss zwischen 0° und 180° liegen.
Wann der Kosinussatz die passende Wahl ist
Für SSS und SWS liefert er direkt eine eindeutige Lösung. Ist bereits ein Gegenpaar aus Seite und Winkel bekannt, ist der Sinussatz meist kürzer.
Bei γ = 90° wird cos γ = 0 und die Formel geht in den Satz des Pythagoras über.
Ergebnisse mit Fläche und Umfang prüfen
Der Umfang ist die Summe der drei Seiten. Für die Fläche nutzt die Berechnung zwei Seiten mit eingeschlossenem Winkel oder nach vollständiger Bestimmung die Heron-Formel; beide Wege müssen bei ungerundeten Werten übereinstimmen.
Die ausgewählte Längeneinheit gilt für alle Seiten. Die Fläche erscheint deshalb in der entsprechenden Quadrateinheit und darf nicht mit einer linearen Einheit beschriftet werden.
Fragen zum Kosinussatz
Wann ist der Kosinussatz geeigneter als der Sinussatz?
Direkt bei SWS und SSS.
Gilt er im rechtwinkligen Dreieck?
Ja; bei 90° entsteht der Satz des Pythagoras.
Welchen Winkel sollte man bei SSS zuerst berechnen?
Den Winkel gegenüber der längsten Seite; dadurch werden spätere Mehrdeutigkeiten vermieden.
Warum sollte man Zwischenergebnisse nicht runden?
Ein früh gerundeter Winkel oder eine Seite kann die folgenden Winkel und die Fläche sichtbar verschieben.
