Utilize as 3 calculadoras abaixo: calcule C(n,k) com resolução passo a passo, visualize a linha n do triângulo de Pascal ou veja o desenvolvimento completo de (a + b)n.
Calculadora Coeficiente Binomial
Cálculo 1 — Coeficiente binomial C(n, k)
Cálculo 2 — Linha n do triângulo de Pascal
Cálculo 3 — Desenvolvimento binomial (a + b)n
Como usar a calculadora
- Cálculo 1: Introduza n e k para obter C(n,k) com o cálculo detalhado e a sua posição no triângulo de Pascal.
- Cálculo 2: Introduza n (até 20) para ver todas as linhas do triângulo de Pascal até à linha n, com a linha n em destaque.
- Cálculo 3: Introduza n (até 15) para ver o desenvolvimento completo de (a + b)n com todos os coeficientes.
Fórmula do coeficiente binomial
| Notação | Fórmula | Exemplo |
|---|---|---|
| C(n,k) ou Cₙₖ | n! ÷ (k! × (n−k)!) | C(5,2) = 120 ÷ (2 × 6) = 10 |
| Propriedade de simetria | C(n,k) = C(n, n−k) | C(5,2) = C(5,3) = 10 |
| Casos particulares | C(n,0) = C(n,n) = 1 | C(7,0) = 1 |
| Recursão (Pascal) | C(n,k) = C(n−1,k−1) + C(n−1,k) | C(5,2) = C(4,1) + C(4,2) |
Perguntas frequentes
O que é o coeficiente binomial?
O coeficiente binomial C(n,k), lido "n sobre k", conta o número de formas de escolher k elementos de um conjunto de n sem considerar a ordem. É equivalente à combinação: C(n,k) = Cₙₖ = n! ÷ (k! × (n−k)!).
Exemplo: C(5,2) = 5!÷(2!×3!) = 120÷12 = 10. Existem 10 formas de escolher 2 objetos de entre 5.
Como o coeficiente binomial se relaciona com o triângulo de Pascal?
Cada elemento do triângulo de Pascal na linha n e posição k (ambos a começar em 0) é igual a C(n,k). A regra de formação é: C(n,k) = C(n−1,k−1) + C(n−1,k) — cada número é a soma dos dois números acima.
Qual a diferença entre coeficiente binomial e permutação?
Combinação C(n,k): escolhe k elementos sem considerar a ordem. Permutação P(n,k) = n!÷(n−k)!: escolhe k elementos com ordem. C(n,k) = P(n,k) ÷ k!. Exemplo: C(5,2)=10 combinações, P(5,2)=20 permutações.
O que diz o teorema binomial?
O teorema binomial afirma que (a+b)ⁿ = Σ C(n,k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ, onde k vai de 0 a n. O coeficiente de cada termo é exatamente o coeficiente binomial C(n,k). Exemplo: (a+b)² = a² + 2ab + b².
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