Probabilidade Condicional

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A probabilidade condicional é um conceito da probabilidade que envolve dois eventos de forma que estuda a probabilidade de o evento A ocorrer, sabendo que o evento B já ocorreu.

Considere dois eventos A e B em um espaço amostral U, não vazio. A probabilidade de A condicionada a B, ou seja, a probabilidade de A ocorrer sabendo que B já ocorreu é dado por:

Probabilidade Condicional

Exemplo:

Numa aula de dança existem 50 alunos, 15 homens e 35 mulheres. Sabendo que 10 homens e 15 mulheres foram selecionados para uma apresentação. Uma pessoa é sorteada ao acaso.

Qual a probabilidade de:

  1. Ela ser do sexo feminino se foi sorteada para a apresentação?
  2. Ela ter sido sorteada se é do sexo masculino?

Resolução:

A tabela abaixo mostra os dados do problema:

SorteadaNão sorteadaTotal
Homem10515
Mulher152035
Total252550

Evento A: “a pessoa foi sorteada para a apresentação de dança”.

Evento B: “a pessoa sorteada é mulher”.

Evento A: “a pessoa foi sorteada para a apresentação de dança”.

Evento C: “a pessoa sorteada é homem”.

Índice do Artigo

Eventos Independentes

Seja dois eventos A e B em um espaço amostral U, então dizemos que os eventos A e B são independentes se a ocorrência no evento A não modificar a ocorrência no evento B.

Logo,

A e B são independentes ⇔ P(B/A) = P(B) e P(A/B) = P(A)

Quando os eventos A e B são independentes temos que:

  • P(A ∩ B) = P(A) · P(B)

Dessa forma, caso P(A ∩ B) ≠ P(A) · P(B), então os eventos A e B são dependentes.

  • Exemplo eventos independentes:

    Quando tiramos duas cartas de um baralho, e depois que tirarmos uma segunda carta a primeira carta já estiver de volta no baralho, o resultado da primeira carta não influenciará no resultado da segunda carta.

  • Exemplo eventos dependentes:

    Quando tiramos duas cartas de um baralho, e depois formos tirar a segunda carta e não colocamos de volta a primeira, o resultado da primeira influenciará no resultado da segunda carta, pois temos um espaço amostral diferente para a segunda carta que passa a ter 51 cartas e não 52 cartas.

Exemplo:

Considere uma urna contendo 50 bolas, destas 20 são azuis e 30 vermelhas. Sorteando 1 bola de cada vez, toda vez a bola sorteada é reposta na urna. Qual é a probabilidade da primeira bola sorteada ser azul e a segunda ser vermelha?

Resolução:

Temos um problema com eventos independentes, a probabilidade de retirar uma bola azul na primeira vez e uma vermelha na segunda vez é o produto de cada evento ocorrer: P(A ∩ B) = P(A) · P(B)

Probabilidade Condicional

Intersecção de Eventos

Seja dois eventos A e B em um espaço amostral U. Então, dizemos que o evento A ∩ B é a ocorrência de A e B ao mesmo tempo.

No cálculo de eventos simultâneos utilizamos a seguinte fórmula da probabilidade condicional:

  • P(A ∩ B) = P(A) . P(B/A) = P(B) . P(A/B)

Exemplo:

Considere um globo em um bingo onde possui 75 bolas numeradas de 1 a 75. Qual a probabilidade de retirarmos a bola 10 e, sem reposição, a bola 5?

Resolução:

A probabilidade retirar a bola 10 é:

Probabilidade Condicional

Agora a urna possui 74 bolas, assim a probabilidade de retirarmos a bola 5, tendo retirado a bola 10 na primeira retirada, é:

Probabilidade Condicional

Por fim, queremos saber qual a probabilidade de os dois eventos ocorrerem simultaneamente. Então, temos que:

Probabilidade Condicional

Propriedades

  • A e B independentes ⇔ P(A ∩ B) = P(A) . P(B);
  • A e B dependentes ⇔ P(A ∩ B) ≠ P(A) . P(B);
  • Se A e B são independentes, então temos que P(B/A) = P(B) e P(A ∩ B) = P(A) . P(B).

Jean Carlos Novaes by