Użyj poniższych 3 kalkulatorów: oblicz C(n,k) z rozwiązaniem krok po kroku, wizualizuj wiersz n trójkąta Pascala lub zobacz pełne rozwinięcie (a + b)n.
Kalkulator Współczynnika Dwumianowego
Kalkulator 1 — Współczynnik dwumianowy C(n, k)
Kalkulator 2 — Wiersz n trójkąta Pascala
Kalkulator 3 — Rozwinięcie dwumianu (a + b)n
Jak używać kalkulatora
- Kalkulator 1: Podaj n i k, aby uzyskać C(n,k) ze szczegółowym obliczeniem i jego pozycją w trójkącie Pascala.
- Kalkulator 2: Podaj n (do 20), aby zobaczyć wszystkie wiersze trójkąta Pascala do wiersza n, z wierszem n wyróżnionym.
- Kalkulator 3: Podaj n (do 15), aby zobaczyć pełne rozwinięcie (a + b)n z wszystkimi współczynnikami.
Wzór na współczynnik dwumianowy
| Notacja | Wzór | Przykład |
|---|---|---|
| C(n,k) lub Cₙₖ | n! ÷ (k! × (n−k)!) | C(5,2) = 120 ÷ (2 × 6) = 10 |
| Właściwość symetrii | C(n,k) = C(n, n−k) | C(5,2) = C(5,3) = 10 |
| Przypadki szczególne | C(n,0) = C(n,n) = 1 | C(7,0) = 1 |
| Rekursja (Pascal) | C(n,k) = C(n−1,k−1) + C(n−1,k) | C(5,2) = C(4,1) + C(4,2) |
Często zadawane pytania
Co to jest współczynnik dwumianowy?
Współczynnik dwumianowy C(n,k), czytany "n nad k", liczy liczbę sposobów wyboru k elementów ze zbioru n bez uwzględnienia kolejności. Jest równoważny kombinacji: C(n,k) = Cₙₖ = n! ÷ (k! × (n−k)!).
Przykład: C(5,2) = 5!÷(2!×3!) = 120÷12 = 10. Istnieje 10 sposobów wyboru 2 obiektów spośród 5.
Jak współczynnik dwumianowy wiąże się z trójkątem Pascala?
Każdy element trójkąta Pascala w wierszu n i pozycji k (oba zaczynają od 0) jest równy C(n,k). Reguła tworzenia to: C(n,k) = C(n−1,k−1) + C(n−1,k) — każda liczba jest sumą dwóch liczb nad nią.
Jaka jest różnica między współczynnikiem dwumianowym a permutacją?
Kombinacja C(n,k): wybiera k elementów bez uwzględnienia kolejności. Permutacja P(n,k) = n!÷(n−k)!: wybiera k elementów z uwzględnieniem kolejności. C(n,k) = P(n,k) ÷ k!. Przykład: C(5,2)=10 kombinacji, P(5,2)=20 permutacji.
Co mówi twierdzenie dwumianowe?
Twierdzenie dwumianowe mówi, że (a+b)ⁿ = Σ C(n,k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ, gdzie k przebiega od 0 do n. Współczynnik każdego wyrazu to dokładnie współczynnik dwumianowy C(n,k). Przykład: (a+b)² = a² + 2ab + b².
Przeczytaj też…
