Operações com Conjuntos – Exercícios Resolvidos

Que tal treinar os seus conhecimentos sobre operações com conjuntos resolvendo estes exercícios? Então pratique!



1) Considere os conjuntos A = {2, 4, 5, 12, 40, 53} e B = {9, 12, 30, 90}, determine A – B, A ∪ B e A ∩ B.

A – B é todos os elementos que estão em A e não estão em B.

Logo: A – B = {2, 4, 5, 40, 53}

A ∪ B é a união de todos os elementos dos conjuntos A e B.

Logo: A ∪ B = {2, 4, 5, 9, 12, 30, 40, 53, 90}

A ∩ B é o conjunto formado por todos os elementos que estão em ambos os conjuntos.

Logo: A ∩ B = {12}



2) Sejam os conjuntos A = {1, 4, 5, 8}, B = {1, 2, 8} e C = {3, 8, 12}, determine:

a) A ∩ (B ∩ C)

b) A – (A ∩ B)

c) (A ∪ B) ∩ (B ∪ C)

a) B ∩ C = {8}

Logo: A ∩ (B ∩ C) = {8}

b) A ∩ B = {1, 8}

Assim: A – (A ∩ B) = {4, 5}

c)

A ∪ B = {1, 2, 4, 5, 8}

B ∪ C = {1, 2, 3, 8, 12}

Então: (A ∪ B) ∩ (B ∪ C) = {1, 2, 8}


3) Sejam os conjuntos A e B definidos pelas imagens abaixo, determine o valor de x sabendo que o total de elementos dos conjuntos é 120.

operacoes-com-conjuntos-exercicios

4 + 2x + x + 12 + x = 120 ⇒

4 + 12 + 4x = 120 ⇒

16 + 4x = 120 ⇒

4x = 120 – 16 ⇒

4x = 104 ⇒

x = 104/4 ⇒

x = 26

Portanto, o valor e x é 26.



4) Sejam A, B e C conjuntos, demonstre que:

a) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

b) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

a)

Temos que:

Se x ∈ [(A ∩ B) ∩ C], então x ∈ (A ∩ B) e x ∈ C

Se x ∈ (A ∩ B), então x ∈ A e x ∈ B

Como x ∈ C, logo x ∈ A e x ∈ (B ∩ C) ⇒ x ∈ [A ∩ (B ∩ C)]

Portanto, (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

b)

Se x ∈ [(A ∪ B) ∪ C], então x ∈ (A ∪ B) ou x ∈ C

Se x ∈ (A ∪ B), então x ∈ A ou x ∈ B

Como x ∈ C, logo x ∈ A ou x ∈ (B ∪ C) ⇒ x ∈ [A ∪ (B ∪ C)]

Portanto, (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)


5) Sejam A, B e C conjuntos, demonstre as leis de Morgan abaixo:

a)

b)

a) Temos que mostrar que

Seja x ∈ , então x ∉ (A ∪ B), assim x ∉ A ou x ∉ B, Logo

x ∈ operacoes-com-conjuntos-exercicios-6 e x ∈ ⇒ x ∈ operacoes-com-conjuntos-exercicios-8

Agora temos que mostrar que operacoes-com-conjuntos-exercicios-9

Dessa forma, considerando que x ∈ ⇒ x ∈ operacoes-com-conjuntos-exercicios-6 e x ∈ .

Logo, x ∉ A e x ∉ B ⇒ x ∉ A, x ∉ B e x ∉ (A ∩ B). Então, x ∉ (A ∪ B).

Portanto, x ∈ .

Assim, concluímos que

b) Temos que mostrar que operacoes-com-conjuntos-exercicios-11.

Seja x ∈ , então x ∉ (A ∩ B), sendo assim x ∈ ou x ∈ A e x ∉ B ou x ∈ B e x ∉ A. Portanto, x ∈ operacoes-com-conjuntos-exercicios-13.

Agora vamos mostrar que

Seja x ∈ operacoes-com-conjuntos-exercicios-13, então x ∈ operacoes-com-conjuntos-exercicios-6 ou x ∈ ou x ∈ operacoes-com-conjuntos-exercicios-8. Logo, x ∈ .

Portanto, concluímos que


6) Numa sala de aula com x alunos. 56 alunos leem o romance A, 23 leem os romances A e B, 100 leem somente um dos romances e 36 não leem o romance B. O total de alunos da sala é.

Como 56 alunos que leem o romance A, e destes 23 leem também B, temos então 56 – 23= 33. Logo, 33 leem apenas o romance A;

Como 100 leem apenas um romance, temos então que 100 – 33 = 67, leem apenas o romance B;

Como 36 não leem o romance B e destes 33 leem A, temos 36 – 33 = 3 não leem nenhum dos dois romances;

Portanto,

x = (A ∪ B) – (A ∩ B) + 3 ⇒

x = 56 + 90 – 23 + 3 ⇒

x = 146 – 20 ⇒

x = 126

Portanto, o número de alunos da sala é de 126 alunos.

Veja a representação no diagrama de Venn:

operações com conjuntos exercícios: diagrama de Venn


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Authorby Jean Carlos Novaes