Que tal treinar os seus conhecimentos sobre operações com conjuntos resolvendo estes exercícios? Então pratique!
1) Considere os conjuntos A = {2, 4, 5, 12, 40, 53} e B = {9, 12, 30, 90}, determine A – B, A ∪ B e A ∩ B.
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A – B é todos os elementos que estão em A e não estão em B.
Logo: A – B = {2, 4, 5, 40, 53}
A ∪ B é a união de todos os elementos dos conjuntos A e B.
Logo: A ∪ B = {2, 4, 5, 9, 12, 30, 40, 53, 90}
A ∩ B é o conjunto formado por todos os elementos que estão em ambos os conjuntos.
Logo: A ∩ B = {12}
2) Sejam os conjuntos A = {1, 4, 5, 8}, B = {1, 2, 8} e C = {3, 8, 12}, determine:
a) A ∩ (B ∩ C)
b) A – (A ∩ B)
c) (A ∪ B) ∩ (B ∪ C)
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a) B ∩ C = {8}
Logo: A ∩ (B ∩ C) = {8}
b) A ∩ B = {1, 8}
Assim: A – (A ∩ B) = {4, 5}
c) A ∪ B = {1, 2, 4, 5, 8}
B ∪ C = {1, 2, 3, 8, 12}
Então: (A ∪ B) ∩ (B ∪ C) = {1, 2, 8}
3) Sejam os conjuntos A e B definidos pelas imagens abaixo, determine o valor de x sabendo que o total de elementos dos conjuntos é 120.
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4 + 2x + x + 12 + x = 120 ⇒
4 + 12 + 4x = 120 ⇒
16 + 4x = 120 ⇒
4x = 120 – 16 ⇒
4x = 104 ⇒
x = 104/4 ⇒
x = 26
Portanto, o valor e x é 26.
4) Sejam A, B e C conjuntos, demonstre que:
a) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
b) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
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a)
Temos que:
Se x ∈ [(A ∩ B) ∩ C], então x ∈ (A ∩ B) e x ∈ C
Se x ∈ (A ∩ B), então x ∈ A e x ∈ B
Como x ∈ C, logo x ∈ A e x ∈ (B ∩ C) ⇒ x ∈ [A ∩ (B ∩ C)]
Portanto, (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
b)
Se x ∈ [(A ∪ B) ∪ C], então x ∈ (A ∪ B) ou x ∈ C
Se x ∈ (A ∪ B), então x ∈ A ou x ∈ B
Como x ∈ C, logo x ∈ A ou x ∈ (B ∪ C) ⇒ x ∈ [A ∪ (B ∪ C)]
Portanto, (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
5) Sejam A, B e C conjuntos, demonstre as leis de Morgan abaixo:
a) 
b) 
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a) Temos que mostrar que 
Seja x ∈ 
, então x ∉ (A ∪ B), assim x ∉ A ou x ∉ B, Logo
x ∈ 
e x ∈ 
⇒ x ∈ 
Agora temos que mostrar que 
Dessa forma, considerando que x ∈ 
⇒ x ∈ e x ∈ .
Logo, x ∉ A e x ∉ B ⇒ x ∉ A, x ∉ B e x ∉ (A ∩ B). Então, x ∉ (A ∪ B).
Portanto, x ∈ .
Assim, concluímos que
b) Temos que mostrar que 
.
Seja x ∈ 
, então x ∉ (A ∩ B), sendo assim x ∈ ou x ∈ A e x ∉ B ou x ∈ B e x ∉ A. Portanto, x ∈ 
.
Agora vamos mostrar que 
Seja x ∈ , então x ∈ ou x ∈ ou x ∈ . Logo, x ∈ .
Portanto, concluímos que
6) Numa sala de aula com x alunos. 56 alunos leem o romance A, 23 leem os romances A e B, 100 leem somente um dos romances e 36 não leem o romance B. O total de alunos da sala é.
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Como 56 alunos que leem o romance A, e destes 23 leem também B, temos então 56 – 23= 33. Logo, 33 leem apenas o romance A;
Como 100 leem apenas um romance, temos então que 100 – 33 = 67, leem apenas o romance B;
Como 36 não leem o romance B e destes 33 leem A, temos 36 – 33 = 3 não leem nenhum dos dois romances;
Portanto,
x = (A ∪ B) – (A ∩ B) + 3 ⇒
x = 56 + 90 – 23 + 3 ⇒
x = 146 – 20 ⇒
x = 126
Portanto, o número de alunos da sala é de 126 alunos.
Veja a representação no diagrama de Venn:
