Saisissez deux, trois ou quatre entiers dans ce calculateur de PGCD et découvrez le Plus Grand Commun Diviseur instantanément. Les deux premiers champs sont obligatoires ; les champs N° 3 et N° 4 sont facultatifs. Cliquez sur Calculer pour obtenir le résultat.
Calculateur PGCD
Plus Grand Commun Diviseur de jusqu'à 4 nombres
Remplissez au moins les deux premiers champs avec des entiers positifs. Les champs N° 3 et N° 4 sont facultatifs.
Comment utiliser le calculateur
- Remplissez le champ N° 1 et le champ N° 2 avec des entiers positifs — ces deux champs sont obligatoires.
- Pour calculer le PGCD de trois ou quatre nombres, remplissez également les champs N° 3 et N° 4.
- Cliquez sur Calculer. Le Plus Grand Commun Diviseur apparaîtra dans le champ PGCD.
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Qu'est-ce que le PGCD
Le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) de deux ou plusieurs entiers est la plus grande valeur qui les divise tous exactement, sans reste. Autrement dit, c'est le plus grand facteur entier commun à tous les nombres considérés.
Le PGCD a de nombreuses applications pratiques : simplifier les fractions au maximum, distribuer des objets en groupes égaux sans restes et résoudre des problèmes de partage équitable sont des usages fréquents aussi bien dans la vie quotidienne que dans les exercices de mathématiques de l'école primaire et du lycée.
Comment calculer le PGCD
Deux méthodes sont principalement enseignées :
1. Décomposition en facteurs premiers : décomposez chaque nombre en ses facteurs premiers, identifiez les facteurs communs à tous et multipliez-les en utilisant le plus petit exposant de chaque facteur présent dans tous les nombres.
2. Algorithme d'Euclide : divisez le plus grand nombre par le plus petit et trouvez le reste. Remplacez le dividende par le diviseur et le diviseur par le reste. Répétez jusqu'à ce que le reste soit zéro — le dernier diviseur non nul est le PGCD.
Exemple avec l'Algorithme d'Euclide : PGCD(48, 18)
- 48 = 2 × 18 + 12
- 18 = 1 × 12 + 6
- 12 = 2 × 6 + 0 → PGCD = 6
L'Algorithme d'Euclide est plus efficace pour les grands nombres, car il évite la décomposition complète en facteurs premiers.
Relation avec le PPCM : pour deux entiers a et b, on a toujours :
PGCD(a, b) × PPCM(a, b) = a × b
Exemples pratiques
| Nombres | PGCD | Situation typique |
|---|---|---|
| 12 et 18 | 6 | Simplifier la fraction 12/18 en 2/3 |
| 24 et 36 | 12 | Répartir 24 pommes et 36 oranges en 12 paniers égaux |
| 100 et 75 | 25 | Taille maximale de lot qui divise 100 et 75 exactement |
| 7 et 11 | 1 | Nombres premiers entre eux — aucun diviseur commun sauf 1 |
| 16, 24 et 40 | 8 | Plus grand facteur commun aux trois — groupes de 8 à la fois |
Questions fréquentes sur le PGCD
Qu'est-ce que le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) ?
Le PGCD de deux ou plusieurs entiers est le plus grand nombre qui les divise tous exactement, sans reste. Par exemple, PGCD(12, 18) = 6, car 6 est la plus grande valeur qui divise à la fois 12 et 18 sans reste.
Comment calculer le PGCD avec l'Algorithme d'Euclide ?
Divisez le plus grand nombre par le plus petit et notez le reste. Remplacez le dividende par le diviseur et le diviseur par le reste. Répétez jusqu'à ce que le reste soit zéro — le dernier diviseur non nul est le PGCD.
Exemple : PGCD(48, 18) → 48 = 2×18+12 → 18 = 1×12+6 → 12 = 2×6+0 → PGCD = 6.
Que signifie un PGCD égal à 1 ?
Quand le PGCD de deux nombres est 1, ils sont dits premiers entre eux (ou coprimes). Cela signifie qu'ils n'ont aucun facteur premier commun. Exemples : PGCD(8, 9) = 1 ; PGCD(5, 7) = 1. Les nombres premiers entre eux ont un PPCM égal à leur produit.
À quoi sert le PGCD au quotidien ?
Le PGCD sert principalement à simplifier les fractions : en divisant numérateur et dénominateur par le PGCD, on obtient la fraction irréductible. Il permet aussi de trouver le plus grand nombre de groupes égaux lors de la distribution de deux ou plusieurs ensembles d'objets sans restes.
Quelle est la relation entre PGCD et PPCM ?
Pour deux entiers positifs a et b, on a toujours :
PGCD(a, b) × PPCM(a, b) = a × b
Connaître le PGCD permet de calculer le PPCM sans factoriser à nouveau les nombres, et inversement.
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