Utilisez les 3 calculateurs ci-dessous : calculez C(n,k) avec le détail étape par étape, visualisez la ligne n du triangle de Pascal ou voyez le développement complet de (a + b)n.
Calculateur Coefficient Binomial
Calcul 1 — Coefficient binomial C(n, k)
Calcul 2 — Ligne n du triangle de Pascal
Calcul 3 — Développement binomial (a + b)n
Comment utiliser le calculateur
- Calcul 1 : Saisissez n et k pour obtenir C(n,k) avec le détail du calcul et sa position dans le triangle de Pascal.
- Calcul 2 : Saisissez n (jusqu'à 20) pour voir toutes les lignes du triangle de Pascal jusqu'à la ligne n, avec la ligne n mise en évidence.
- Calcul 3 : Saisissez n (jusqu'à 15) pour voir le développement complet de (a + b)n avec tous les coefficients.
Formule du coefficient binomial
| Notation | Formule | Exemple |
|---|---|---|
| C(n,k) ou Cₙₖ | n! ÷ (k! × (n−k)!) | C(5,2) = 120 ÷ (2 × 6) = 10 |
| Propriété de symétrie | C(n,k) = C(n, n−k) | C(5,2) = C(5,3) = 10 |
| Cas particuliers | C(n,0) = C(n,n) = 1 | C(7,0) = 1 |
| Récursion (Pascal) | C(n,k) = C(n−1,k−1) + C(n−1,k) | C(5,2) = C(4,1) + C(4,2) |
Questions fréquentes
Qu'est-ce que le coefficient binomial ?
Le coefficient binomial C(n,k), lu « n choisit k », compte le nombre de façons de choisir k éléments d'un ensemble de n sans tenir compte de l'ordre. Il est équivalent à la combinaison : C(n,k) = Cₙₖ = n! ÷ (k! × (n−k)!).
Exemple : C(5,2) = 5!÷(2!×3!) = 120÷12 = 10. Il y a 10 façons de choisir 2 objets parmi 5.
Comment le coefficient binomial se rapporte-t-il au triangle de Pascal ?
Chaque entrée du triangle de Pascal à la ligne n et colonne k (les deux commençant à 0) est égale à C(n,k). La règle de formation est : C(n,k) = C(n−1,k−1) + C(n−1,k) — chaque nombre est la somme des deux au-dessus.
Quelle est la différence entre coefficient binomial et permutation ?
Combinaison C(n,k) : choisit k éléments sans tenir compte de l'ordre. Permutation P(n,k) = n!÷(n−k)! : choisit k éléments où l'ordre compte. C(n,k) = P(n,k) ÷ k!. Exemple : C(5,2)=10 combinaisons, P(5,2)=20 permutations.
Qu'est-ce que le théorème binomial ?
Le théorème binomial stipule que (a+b)ⁿ = Σ C(n,k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ, pour k de 0 à n. Les coefficients de chaque terme sont exactement les coefficients binomiaux C(n,k). Exemple : (a+b)² = C(2,0)·a² + C(2,1)·ab + C(2,2)·b² = a² + 2ab + b².
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