Usa las 3 calculadoras de abajo: calcula C(n,k) con el procedimiento paso a paso, visualiza la fila n del triángulo de Pascal o ve la expansión completa de (a + b)n.
Calculadora de Coeficiente Binomial
Cálculo 1 — Coeficiente binomial C(n, k)
Cálculo 2 — Fila n del triángulo de Pascal
Cálculo 3 — Expansión binomial (a + b)n
Cómo usar la calculadora
- Cálculo 1: Introduce n y k para obtener C(n,k) con el procedimiento paso a paso y su posición en el triángulo de Pascal.
- Cálculo 2: Introduce n (hasta 20) para ver todas las filas del triángulo de Pascal hasta la fila n, con la fila n destacada.
- Cálculo 3: Introduce n (hasta 15) para ver la expansión completa de (a + b)n con todos los coeficientes.
Fórmula del coeficiente binomial
| Notación | Fórmula | Ejemplo |
|---|---|---|
| C(n,k) o Cₙₖ | n! ÷ (k! × (n−k)!) | C(5,2) = 120 ÷ (2 × 6) = 10 |
| Propiedad de simetría | C(n,k) = C(n, n−k) | C(5,2) = C(5,3) = 10 |
| Casos especiales | C(n,0) = C(n,n) = 1 | C(7,0) = 1 |
| Recursión (Pascal) | C(n,k) = C(n−1,k−1) + C(n−1,k) | C(5,2) = C(4,1) + C(4,2) |
Preguntas frecuentes
¿Qué es el coeficiente binomial?
El coeficiente binomial C(n,k), leído "n elige k", cuenta el número de formas de elegir k elementos de un conjunto de n sin considerar el orden. Es lo mismo que la combinación: C(n,k) = Cₙₖ = n! ÷ (k! × (n−k)!).
Ejemplo: C(5,2) = 5!÷(2!×3!) = 120÷12 = 10. Hay 10 formas de elegir 2 objetos de un grupo de 5.
¿Cómo se relaciona el coeficiente binomial con el triángulo de Pascal?
Cada entrada del triángulo de Pascal en la fila n y columna k (ambas comenzando en 0) es igual a C(n,k). La regla de formación es: C(n,k) = C(n−1,k−1) + C(n−1,k) — cada número es la suma de los dos que están encima.
¿Cuál es la diferencia entre coeficiente binomial y permutación?
Combinación C(n,k): elige k elementos sin importar el orden. Permutación P(n,k) = n!÷(n−k)!: elige k elementos donde el orden importa. C(n,k) = P(n,k) ÷ k!. Ejemplo: C(5,2)=10 combinaciones, P(5,2)=20 permutaciones.
¿Qué es el teorema binomial?
El teorema binomial establece que (a+b)ⁿ = Σ C(n,k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ, para k de 0 a n. Los coeficientes de cada término son exactamente los coeficientes binomiales C(n,k). Ejemplo: (a+b)² = C(2,0)·a² + C(2,1)·ab + C(2,2)·b² = a² + 2ab + b².
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