Nutzen Sie die 3 Rechner unten: Berechnen Sie C(n,k) mit Schritt-für-Schritt-Lösung, visualisieren Sie Zeile n des Pascal'schen Dreiecks oder sehen Sie die vollständige Entwicklung von (a + b)n.
Binomialkoeffizient Rechner
Rechner 1 — Binomialkoeffizient C(n, k)
Rechner 2 — Zeile n des Pascal'schen Dreiecks
Rechner 3 — Binomialentwicklung (a + b)n
So verwenden Sie den Rechner
- Rechner 1: Geben Sie n und k ein, um C(n,k) mit detaillierter Berechnung und seiner Position im Pascal'schen Dreieck zu erhalten.
- Rechner 2: Geben Sie n (bis 20) ein, um alle Zeilen des Pascal'schen Dreiecks bis Zeile n zu sehen, mit Zeile n hervorgehoben.
- Rechner 3: Geben Sie n (bis 15) ein, um die vollständige Entwicklung von (a + b)n mit allen Koeffizienten zu sehen.
Formel des Binomialkoeffizienten
| Notation | Formel | Beispiel |
|---|---|---|
| C(n,k) oder Cₙₖ | n! ÷ (k! × (n−k)!) | C(5,2) = 120 ÷ (2 × 6) = 10 |
| Symmetrieeigenschaft | C(n,k) = C(n, n−k) | C(5,2) = C(5,3) = 10 |
| Sonderfälle | C(n,0) = C(n,n) = 1 | C(7,0) = 1 |
| Rekursion (Pascal) | C(n,k) = C(n−1,k−1) + C(n−1,k) | C(5,2) = C(4,1) + C(4,2) |
Häufig gestellte Fragen
Was ist der Binomialkoeffizient?
Der Binomialkoeffizient C(n,k), gelesen als „n über k", zählt die Anzahl der Möglichkeiten, k Elemente aus einer Menge von n auszuwählen, ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. Er entspricht der Kombination: C(n,k) = Cₙₖ = n! ÷ (k! × (n−k)!).
Beispiel: C(5,2) = 5!÷(2!×3!) = 120÷12 = 10. Es gibt 10 Möglichkeiten, 2 Objekte aus 5 auszuwählen.
Wie hängt der Binomialkoeffizient mit dem Pascal'schen Dreieck zusammen?
Jedes Element des Pascal'schen Dreiecks in Zeile n und Position k (beide beginnen bei 0) ist gleich C(n,k). Die Bildungsregel lautet: C(n,k) = C(n−1,k−1) + C(n−1,k) — jede Zahl ist die Summe der zwei Zahlen darüber.
Was ist der Unterschied zwischen Binomialkoeffizient und Permutation?
Kombination C(n,k): wählt k Elemente ohne Reihenfolge. Permutation P(n,k) = n!÷(n−k)!: wählt k Elemente mit Reihenfolge. C(n,k) = P(n,k) ÷ k!. Beispiel: C(5,2)=10 Kombinationen, P(5,2)=20 Permutationen.
Was sagt der Binomische Lehrsatz?
Der Binomische Lehrsatz besagt, dass (a+b)ⁿ = Σ C(n,k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ, wobei k von 0 bis n läuft. Der Koeffizient jedes Terms ist genau der Binomialkoeffizient C(n,k). Beispiel: (a+b)² = a² + 2ab + b².
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