Calculez l'inverse multiplicatif modulaire (a · x ≡ 1 mod m) et l'inverse additif modulaire (a + x ≡ 0 mod m) de façon instantanée. Le calculateur utilise l'algorithme d'Euclide étendu et affiche la solution pas à pas avec vérification.
Calculateur Inverse Modulaire
a · x = 1 mod m
Comment utiliser le calculateur
- Sélectionnez le type d'inverse : Multiplicatif ou Additif.
- Entrez la valeur de a (n'importe quel entier).
- Entrez le module m (entier ≥ 2).
- Cliquez sur Calculer. Le résultat affiche l'équation, la solution et la vérification.
Inverse multiplicatif modulaire
L'inverse multiplicatif modulaire de a par rapport au module m est l'entier x tel que :
a · x ≡ 1 (mod m)
Il n'existe que lorsque PGCD(a, m) = 1 (a et m sont premiers entre eux). Il se calcule avec l'algorithme d'Euclide étendu, qui trouve des entiers x et y tels que a·x + m·y = 1.
| a | m | Inverse x | Vérification |
|---|---|---|---|
| 2 | 3 | 2 | 2 · 2 = 4 ≡ 1 mod 3 |
| 3 | 7 | 5 | 3 · 5 = 15 ≡ 1 mod 7 |
| 5 | 11 | 9 | 5 · 9 = 45 ≡ 1 mod 11 |
| 7 | 13 | 2 | 7 · 2 = 14 ≡ 1 mod 13 |
Inverse additif modulaire
L'inverse additif modulaire de a par rapport au module m est l'entier x tel que :
a + x ≡ 0 (mod m)
Il existe toujours et vaut x = m − (a mod m) lorsque a mod m ≠ 0, ou x = 0 lorsque a est un multiple de m.
| a | m | Inverse x | Vérification |
|---|---|---|---|
| 2 | 3 | 1 | 2 + 1 = 3 ≡ 0 mod 3 |
| 5 | 7 | 2 | 5 + 2 = 7 ≡ 0 mod 7 |
| 9 | 5 | 1 | 9 + 1 = 10 ≡ 0 mod 5 |
| 6 | 3 | 0 | 6 + 0 = 6 ≡ 0 mod 3 |
Questions fréquentes
Qu'est-ce que l'inverse multiplicatif modulaire ?
L'inverse multiplicatif modulaire de a par rapport au module m est la valeur x telle que a · x ≡ 1 (mod m). Il n'existe que lorsque PGCD(a, m) = 1 et se calcule avec l'algorithme d'Euclide étendu.
Qu'est-ce que l'inverse additif modulaire ?
L'inverse additif modulaire de a par rapport au module m est x tel que a + x ≡ 0 (mod m). Il existe toujours : x = m − (a mod m) lorsque a mod m ≠ 0 ; ou x = 0 lorsque a est un multiple de m.
Quand l'inverse multiplicatif modulaire existe-t-il ?
Seulement lorsque PGCD(a, m) = 1, c'est-à-dire lorsque a et m n'ont aucun facteur commun supérieur à 1. Si PGCD(a, m) > 1, l'équation a·x ≡ 1 (mod m) n'a pas de solution.
Comment calculer l'inverse multiplicatif modulaire ?
On utilise l'algorithme d'Euclide étendu : on trouve des entiers x et y tels que a·x + m·y = PGCD(a, m). Si PGCD = 1, alors a·x ≡ 1 (mod m) et x (réduit à l'intervalle [0, m−1]) est l'inverse recherché.
Voir aussi…
