Berechne den modularen multiplikativen Kehrwert (a · x ≡ 1 mod m) und den modularen additiven Kehrwert (a + x ≡ 0 mod m) sofort. Der Rechner verwendet den erweiterten euklidischen Algorithmus und zeigt die Lösung Schritt für Schritt mit Verifikation.
Modularer Kehrwert Rechner
a · x = 1 mod m
So verwendest du den Rechner
- Wähle den Kehrwerttyp: Multiplikativ oder Additiv.
- Gib den Wert von a ein (beliebige ganze Zahl).
- Gib den Modul m ein (ganze Zahl ≥ 2).
- Klicke auf Berechnen. Das Ergebnis zeigt die Gleichung, die Lösung und die Verifikation.
Modularer multiplikativer Kehrwert
Der modulare multiplikative Kehrwert von a bezüglich des Moduls m ist die ganze Zahl x, die erfüllt:
a · x ≡ 1 (mod m)
Er existiert nur, wenn ggT(a, m) = 1 (a und m sind teilerfremd). Er wird mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus berechnet, der ganze Zahlen x und y findet, für die a·x + m·y = 1 gilt.
| a | m | Kehrwert x | Verifikation |
|---|---|---|---|
| 2 | 3 | 2 | 2 · 2 = 4 ≡ 1 mod 3 |
| 3 | 7 | 5 | 3 · 5 = 15 ≡ 1 mod 7 |
| 5 | 11 | 9 | 5 · 9 = 45 ≡ 1 mod 11 |
| 7 | 13 | 2 | 7 · 2 = 14 ≡ 1 mod 13 |
Modularer additiver Kehrwert
Der modulare additive Kehrwert von a bezüglich des Moduls m ist die ganze Zahl x, die erfüllt:
a + x ≡ 0 (mod m)
Er existiert immer und ist x = m − (a mod m) wenn a mod m ≠ 0, oder x = 0 wenn a ein Vielfaches von m ist.
| a | m | Kehrwert x | Verifikation |
|---|---|---|---|
| 2 | 3 | 1 | 2 + 1 = 3 ≡ 0 mod 3 |
| 5 | 7 | 2 | 5 + 2 = 7 ≡ 0 mod 7 |
| 9 | 5 | 1 | 9 + 1 = 10 ≡ 0 mod 5 |
| 6 | 3 | 0 | 6 + 0 = 6 ≡ 0 mod 3 |
Häufig gestellte Fragen
Was ist der modulare multiplikative Kehrwert?
Der modulare multiplikative Kehrwert von a bezüglich Modul m ist der Wert x, der a · x ≡ 1 (mod m) erfüllt. Er existiert nur wenn ggT(a, m) = 1 und wird mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus berechnet.
Was ist der modulare additive Kehrwert?
Der modulare additive Kehrwert von a bezüglich Modul m ist x, das a + x ≡ 0 (mod m) erfüllt. Er existiert immer: x = m − (a mod m) wenn a mod m ≠ 0; oder x = 0 wenn a ein Vielfaches von m ist.
Wann existiert der modulare multiplikative Kehrwert?
Nur wenn ggT(a, m) = 1, d.h. wenn a und m keinen gemeinsamen Teiler größer als 1 haben. Ist ggT(a, m) > 1, hat die Gleichung a·x ≡ 1 (mod m) keine Lösung.
Wie berechnet man den modularen multiplikativen Kehrwert?
Man verwendet den erweiterten euklidischen Algorithmus: finde ganze Zahlen x und y, für die a·x + m·y = ggT(a, m) gilt. Ist ggT = 1, gilt a·x ≡ 1 (mod m) und x (auf [0, m−1] reduziert) ist der gesuchte Kehrwert.
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