Oblicz modularną odwrotność multiplikatywną (a · x ≡ 1 mod m) i modularną odwrotność addytywną (a + x ≡ 0 mod m) natychmiast. Kalkulator używa rozszerzonego algorytmu Euklidesa i pokazuje rozwiązanie krok po kroku z weryfikacją.
Kalkulator Odwrotności Modularnej
a · x = 1 mod m
Jak używać kalkulatora
- Wybierz typ odwrotności: Multiplikatywna lub Addytywna.
- Wpisz wartość a (dowolna liczba całkowita).
- Wpisz moduł m (liczba całkowita ≥ 2).
- Kliknij Oblicz. Wynik pokaże równanie, rozwiązanie i weryfikację.
Modularna odwrotność multiplikatywna
Modularna odwrotność multiplikatywna liczby a względem modułu m to liczba całkowita x spełniająca:
a · x ≡ 1 (mod m)
Istnieje wyłącznie gdy nwd(a, m) = 1 (a i m są wzajemnie pierwsze). Oblicza się ją za pomocą rozszerzonego algorytmu Euklidesa, który wyznacza liczby całkowite x i y spełniające a·x + m·y = 1.
| a | m | Odwrotność x | Weryfikacja |
|---|---|---|---|
| 2 | 3 | 2 | 2 · 2 = 4 ≡ 1 mod 3 |
| 3 | 7 | 5 | 3 · 5 = 15 ≡ 1 mod 7 |
| 5 | 11 | 9 | 5 · 9 = 45 ≡ 1 mod 11 |
| 7 | 13 | 2 | 7 · 2 = 14 ≡ 1 mod 13 |
Modularna odwrotność addytywna
Modularna odwrotność addytywna liczby a względem modułu m to liczba całkowita x spełniająca:
a + x ≡ 0 (mod m)
Zawsze istnieje i wynosi x = m − (a mod m) gdy a mod m ≠ 0, lub x = 0 gdy a jest wielokrotnością m.
| a | m | Odwrotność x | Weryfikacja |
|---|---|---|---|
| 2 | 3 | 1 | 2 + 1 = 3 ≡ 0 mod 3 |
| 5 | 7 | 2 | 5 + 2 = 7 ≡ 0 mod 7 |
| 9 | 5 | 1 | 9 + 1 = 10 ≡ 0 mod 5 |
| 6 | 3 | 0 | 6 + 0 = 6 ≡ 0 mod 3 |
Najczęściej zadawane pytania
Czym jest modularna odwrotność multiplikatywna?
Modularna odwrotność multiplikatywna liczby a względem modułu m to wartość x spełniająca a · x ≡ 1 (mod m). Istnieje wyłącznie gdy nwd(a, m) = 1 i oblicza się ją za pomocą rozszerzonego algorytmu Euklidesa.
Czym jest modularna odwrotność addytywna?
Modularna odwrotność addytywna liczby a względem modułu m to x spełniające a + x ≡ 0 (mod m). Zawsze istnieje: x = m − (a mod m) gdy a mod m ≠ 0; lub x = 0 gdy a jest wielokrotnością m.
Kiedy istnieje modularna odwrotność multiplikatywna?
Wyłącznie gdy nwd(a, m) = 1, tzn. gdy a i m nie mają wspólnego dzielnika większego niż 1. Jeśli nwd(a, m) > 1, równanie a·x ≡ 1 (mod m) nie ma rozwiązania.
Jak oblicza się modularną odwrotność multiplikatywną?
Używa się rozszerzonego algorytmu Euklidesa: wyznaczamy liczby całkowite x i y spełniające a·x + m·y = nwd(a, m). Jeśli nwd = 1, to a·x ≡ 1 (mod m) i x (zredukowane do [0, m−1]) jest szukaną odwrotnością.
Zobacz też…
