Laske modulaarinen multiplikatiivinen käänteisluku (a · x ≡ 1 mod m) ja modulaarinen additiivinen käänteisluku (a + x ≡ 0 mod m) hetkessä. Laskuri käyttää laajennettua Eukleideen algoritmia ja näyttää ratkaisun vaihe vaiheelta todennuksella.
Modulaarinen Käänteisluku Laskuri
a · x = 1 mod m
Kuinka käyttää laskuria
- Valitse käänteisluvun tyyppi: Multiplikatiivinen tai Additiivinen.
- Syötä arvo a (mikä tahansa kokonaisluku).
- Syötä moduli m (kokonaisluku ≥ 2).
- Napsauta Laske. Tulos näyttää yhtälön, ratkaisun ja todennuksen.
Modulaarinen multiplikatiivinen käänteisluku
Luvun a modulaarinen multiplikatiivinen käänteisluku modelin m suhteen on kokonaisluku x, jolle pätee:
a · x ≡ 1 (mod m)
Se on olemassa vain kun syt(a, m) = 1 (a ja m ovat keskenään jaottomia). Se lasketaan laajennetulla Eukleideen algoritmilla, joka löytää kokonaisluvut x ja y, joille pätee a·x + m·y = 1.
| a | m | Käänteisluku x | Todennus |
|---|---|---|---|
| 2 | 3 | 2 | 2 · 2 = 4 ≡ 1 mod 3 |
| 3 | 7 | 5 | 3 · 5 = 15 ≡ 1 mod 7 |
| 5 | 11 | 9 | 5 · 9 = 45 ≡ 1 mod 11 |
| 7 | 13 | 2 | 7 · 2 = 14 ≡ 1 mod 13 |
Modulaarinen additiivinen käänteisluku
Luvun a modulaarinen additiivinen käänteisluku modelin m suhteen on kokonaisluku x, jolle pätee:
a + x ≡ 0 (mod m)
Se on aina olemassa: x = m − (a mod m) kun a mod m ≠ 0, tai x = 0 kun a on m:n monikerta.
| a | m | Käänteisluku x | Todennus |
|---|---|---|---|
| 2 | 3 | 1 | 2 + 1 = 3 ≡ 0 mod 3 |
| 5 | 7 | 2 | 5 + 2 = 7 ≡ 0 mod 7 |
| 9 | 5 | 1 | 9 + 1 = 10 ≡ 0 mod 5 |
| 6 | 3 | 0 | 6 + 0 = 6 ≡ 0 mod 3 |
Usein kysytyt kysymykset
Mikä on modulaarinen multiplikatiivinen käänteisluku?
Luvun a modulaarinen multiplikatiivinen käänteisluku modelin m suhteen on arvo x, jolle pätee a · x ≡ 1 (mod m). Se on olemassa vain kun syt(a, m) = 1 ja lasketaan laajennetulla Eukleideen algoritmilla.
Mikä on modulaarinen additiivinen käänteisluku?
Luvun a modulaarinen additiivinen käänteisluku modelin m suhteen on x, jolle pätee a + x ≡ 0 (mod m). Se on aina olemassa: x = m − (a mod m) kun a mod m ≠ 0; tai x = 0 kun a on m:n monikerta.
Milloin modulaarinen multiplikatiivinen käänteisluku on olemassa?
Vain kun syt(a, m) = 1 eli kun a:lla ja m:llä ei ole yhteistä tekijää, joka on suurempi kuin 1. Jos syt(a, m) > 1, yhtälöllä a·x ≡ 1 (mod m) ei ole ratkaisua.
Miten modulaarinen multiplikatiivinen käänteisluku lasketaan?
Käytetään laajennettua Eukleideen algoritmia: etsitään kokonaisluvut x ja y, joille pätee a·x + m·y = syt(a, m). Jos syt = 1, niin a·x ≡ 1 (mod m) ja x (välille [0, m−1] palautettuna) on etsitty käänteisluku.
Katso myös…
