Sistemas lineares é um conjunto de equações lineares, com m equações e n incógnitas. A solução de um sistema linear é a solução de todas as equações lineares. Existem muitas maneiras de resolver um sistema de equações lineares ou sistemas lineares, como quiser chama-los. Aqui, vamos nos aprender a regra mais fácil pois o intuito do site é facilitar a vida do estudante e não complicar.

 

Equação linear

Antes disso, porém, vamos entender o que é uma equação linear para depois estudarmos e entendermos sistemas lineares.

 

Uma equação linear é qualquer equação da forma: a1x1 + a2x+ a3x3 + … + anxn = b

onde a1, a2,  a3, …, an são números reais e b é um termo independente. Caso b = 0, a equação é chamada de linear homogênea.

Sistema linear

Um sistema linear tem a seguinte forma:
delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{a_11x_1 + a_12x_2 + a_13x_3 + ... + a_{1n}x_n = b1} {a_21x_1 + a_22x_2 + a_23x_3 + ... + a_{2n}x_n = b2}{a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + a_{m3}x_3 + ... + a_{mn}x_n = b_m}}}{ }

Cuja solução pertence aos númeres reais e o conjunto solução do sistema é solução de todas as equações lineares do sistema.

Classificação de sistemas lineares

Os sistemas lineares são classificados de acordo com o número de soluções apresentados pelos mesmo. Assim, os sistemas lineares podem ser classificados como:

SPD – Sistema Possível e Determinado – possui uma única solução.
SPI – Sistema Possível e Indeterminado – possui infinitas soluções.
SI – Sistema Impossível – não possui solução.

Matriz associada a um sistema linear

Podemos associar a um sistema linear algumas matrizes, onde os seus coeficientes ocuparão linhas e colunas da matriz.

Seja o sistema:

delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{2x + y = 5} {5x + 2y = 3}{x + 2y = 1}}}{ }

Matriz incompleta: formada apenas pelos coeficientes do sistema.

delim{[}{matrix{3}{2}{2 1 5 2 1 2}}{]}

Matriz completa: formada pelos coeficientes do sistema mais os temos independentes.

delim{[}{matrix{3}{3}{2 1 5 5 2 3 1 2 1}{}}{]}

Equação matricial dos sistemas lineares

delim{[}{matrix{3}{2}{2 1 5 2 1 2}{}}{]} * delim{[}{matrix{3}{1}{x y z}{}}{]} = delim{[}{matrix{3}{1}{5 3 1}{}}{]}

A partir dessa equação matricial pode se resolver o sistema.

 

  • Diogo Motta

    Os exemplos da matriz completa e incompleta estão trocados.

    • Jean Carlos Novaes

      Obrigado por avisar…